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1、屮考折叠问题的归类解析折證问题在近年来各地的中考试卷中频频出现，解决这一类问题主要抓住两点：折叠前后重合的角相等，重合的边也相等.下面，笔者以2013年小考试题为例，分类加以说明.一、折叠与平行例1（河北）如图1,四边形ABCD中，ZA=100°,ZC=70°，点M,N分别在AB,BC上，将ABNIN沿MN翻折，得△FMN.若MFZ/AD,FN〃DC,则ZB=・AMB图1分析由折叠前后重合的角相等町知，ZF=ZB.由平行的性质町知，ZBNF=ZC=70°,ZBMF=ZA=100°.根据四边形内角和360°,求得
2、ZF=ZB=95°・二、折亞与全等例2（台州）如图2,在CABCD'I',点E,F分别在边DC,AB上，DE=BF.把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B,C分别落在点C处，线段EC与线段AF交于点G,连结DC,BG求证：（1）Z1=Z2；（2）DG=BG分析（1）在折叠中，ZCEF与Z1重合所以相等；乂因为平行四边形中，CD〃AB,所以ZCEF=Z2,等量代换得到Z1=Z2.（2）在ZADC和厶CBG中，根据折叠和平行四边形的性质，得AD=CB=CB,ZA=ZC=ZC,VDC=AB,DE=BF,・・・AF=E
3、C=EC.又VZ1=Z2,AEG=GF.・・・EC-EG=AF-GF,即GC=AG.由此町证厶ADGMACEG.三、折叠与相似例3（苏州）如图3,在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将厶ADE沿AE折叠后得到ZXAFE,点F在矩形ABCD内部，将AF延上，交边BC于点G,若，则—GBkAri则一=（用含k的代数式表示）.AB分析由折叠过程，知DE=EF,AF=AD,ZAFE=ZD=90°・VDE=CE,・・・CE=EF.连结EG,利用“HL”可证明RtAECG^RtAEFG,从而得到CG=FG.设CG=a,V
4、焉=+，・•・GB=ka,BC=CG+BG=a+ka-a(Zc+1).在矩形ABCD中"0=BC=a(k+1),/.AF=a(k+1),4G=4F+FG•=a(k+)+a=a(k+2)..・.Rt/VIBG中，AB=74G4-BG2=/[a(&+2)孑一(Rq)2=2aJk+],.AD_a(k+1)_Jk+]•・AB一2a/m-2•.四、折證与特殊四边形折痕DF交BC于点FjEDBfr例4（连云港）如图4,在矩形ABCD屮，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N
5、处，（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；（2）若四边形BFDE为菱形，ILAB=2,求BC的长.分析（1）在两次折叠小，ZABE与ZEBN,ZCDF与ZFDN互相重合所以相等，又TAB〃CD,・・・ZABD=ZCDB,从Iflj可以推出ZEBM=ZFDN,设EB//DF.VAD//BC,即ED〃BF,所以BFDE为平行四边形.（2）当BFDE是菱形时，ZEBD=ZDBC=ZABE=90°X-=30°,所以在RtZBCD中,CD=AB=2.3可求出BC=2a/3.五、折叠与鬪例5（日照）有一张矩形纸片ABC
6、D,其中AD=6cm,以AD为直径的半圆，止好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折證，使点A落在BC上，如图5.则半圆还露在外而的部分（阴影部分）的面积为.图5分析由折叠过程，知AD=AD=6.根据题意，CD恰好等于圆的半径3,所以在RtZAQC中，可得ZDArC=30o,因为矩形上下底边平行，所以ZADA,=ZDA,C=30°.如图5,设AD中点为O,AD与圆交于点F,连结OF,则ZFOD=120°.由此，我们可以求出9/~SAFOD=—a/3,S扇形fod=3tg4・•・S阴影部分4六、折叠与动点例6
7、（宿迁）如图6,在梯形ABCD中，AB〃DC,ZB=90°,J1AB=1O,BC=6,CD=2.点E从点B出发，沿BC方向运动，过点E作EF〃AD,交边AB亍点F.将厶BEF沿EF所在的直线折叠得到AGEF,直线FC、EG分别交AD于点M、N,当EG过点D时，点E即停止运动，设BE=x,AGEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y.⑴证明厶AMF是等腰三角形；(2)当EG过点D时(如图6(3)),求x的值;(3)将y表示成x的函数，并求y的最大值.hF乂15Arit(1)(2)图6分析(1)由折叠过程，知厶GFE
8、=厶BFE.再由EF//AD,得乙A=厶EFB,厶GFE=乙AMF,・•・乙4=乙AMF,故AF=FM.(2)如图6(1),作DQ丄于点Q,易证四边形CDQB是矩形•所以在RtZUDQ中，可求得tan乙彳=4在图6(3)中，•・•乙A=乙AMF=乙GMD=乙EFB,33/.tanZ.EF5二—9tan厶GMD=—•44在Rt^EFB中，EB=x,4/.FB=—x9CE=6-x.由折叠，
