解几中参变量取值范围问题的解题策略1

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1、解几中参变量取值范围问题的解题策略湖北省宜昌市夷陵中学曹俊松解析儿何中参变量取值范围问题涉及解儿、函数、不等式、向量、平面儿何等各知识点，综合性强，运算较繁琐，并且确定参变量取值范围的不等关系较为隐蔽，难度较高，在高考中多有出现，必须加强归纳与总结。下面从如何寻找或挖掘不等最关系的角度來谈解这类问题的策略。锥曲线的标准方程型若方程隹+左・表示椭圆’求实数k的取值范亂5—£〉0【简解】：运用圆锥曲线的定义建立不等式组（k2-3>0,可得k-5^3-k2Y-希或巧W5,kH-1±廊2-【同类题】若方程x2s

2、in6^-y2cos=1（0<6T<2^）表示双曲线，求a的取值范7T、兀围。（答案：（0,丝2（龙,一））22【解题策略】这类题H—般注意圆锥曲线的定义及方程的形式直接建立不等式（或不等式组）求解㈡.已知参数范围型【例2]长为3的线段AB的两个端点在抛物线y=x?上移动，若直线AB在y轴79上截距b的取值范围是[丄，试求肓•线AB倾斜角a的取值范围。84{y—kx+bJ-2得/—kx—b=（）,由弦a—v2—79长公式得9=（l+k2）（k2+4bh4b=；—,根据be[-,-],解得ke[—1,1]

3、,进l+k「84一步求得倾斜角uW[0,—JU[—,H）44【同类题】己知双Illi线C：d-a2）x2+a2y2=a2（a>1）的顶点为A,且C的上支交直线y=-x于点P,以点A为焦点，M（0,m）为顶点，开口向下的抛物线过点P,设PM的斜率为k,kE［空二，<1二I］,求a的取值范围。（答案：［2,3］）64【解题策略】这类题明确给出了一个变量（如例1中b）的范围，解题中关键寻求到所求变量（如k）与已知范围变量（b）的等量关系后解关于所求变量（knana）的不等式，便可得解。㈢.运用圆锥曲线的变化范

4、围型22【例3】椭圆C:—+—=1（a>b>0）的长轴两端点是A、B,若C上存在点Pab~使ZAPB=120°,求椭圆C的离心率e的变化范围。【简解】：根据椭圆的对称性不妨设点P（x0,y0）（0Wx°

5、_丰0）上总有不同的两点关于直线l：x+y=0对称，试求实数a的取值范围。（本题有多种解法，这里町先设点，运用点差法和对称性得到这两点的中点P（丄，-丄），再根据P在抛物线C的内部建立不等式2a2a1103——〉M—）2_1）,解得Q〉？）2a2a4【解题策略】这类题不彖类型㈠㈡一样很容易寻找到不等关系，但是我们不难寻找到某个特征点，并发现这个点是在圆锥111J线的某个区域内运动的，此时冇效利用111!线的横（纵）坐标的取值范围建立不等式求解。问题的关键在于特征点的运动范围及消去新引进参数（一般为特征点

6、的横或纵坐标）的恒等变形。【相关知识点】点P（x°,yo）在曲线内部：①椭圆内部卫r+与VI，②双曲线crb22内部—A1,③抛物线内部y（）~<2px（）,反之不等号反.向。a㈣.直线与圆锥曲线的位置关系型【例4］已知椭圆的一个顶点为A（0,一1）,焦点在x轴上，且右焦点到直线X—y+2^2=0的距离为3,若纵截距为b的直线L与该椭圆交于不同的两点M、N,当IAMITANI时,求实数b的取值范围。【简解】易得椭圆的方程吟+y2=l,设直线L的方程为y”b,腐方程联立得(l+3k2)x2+6kbx+3(

7、b2-1)=0,由△>()得3k?-b2+l>0—(1)，设MCx^y,),N(x25y2),中点P（Xo，y（））则v3kb1+3/b1+3冷又因为AP丄MN,可得竺晋k（kHO时）,整理得3k2+l=2b-—（2）,将⑵代入⑴得00,b>

8、0）的右焦点F作双Illi线斜率人于0的渐近线的垂线L,垂足为P。设L与C的左、右两支分别交于A、B两点，求双曲线C的离心率e的变化范围。（答案:e>V2）【解题策略】这类题只要抓住两点：一是从肓线与圆锥曲线的位置关系出发，联立方程，将题设屮给出的直线与圆锥曲线的位置关系转化为一元二次方程根的存在条件，列出相关变量的不等式（或组）；二是依据题设中的另外条件（如例3中的IAMI=IANI）建立一个关于两个相关变量的等式，代入询不等式（或组）消