[精品]解几中参变量取值范围问题的解题策略1

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1、解几中参变量取值范围问题的解题策略湖北省宜昌市夷陵中学曹俊松解析儿何中参变量取值范围问题涉及解儿、函数、不等式、向屋、平面儿何等各知识点，综合性强，运算较繁琐，并且确定参变量取值范围的不等关系较为隐蔽，难度较高，在高考小多有出现，必须加强归纳与总结。下面从如何寻找或挖掘不等最关系的角度来谈解这类问题的策略。㈠.圆锥曲线的标准方程型【例1】若方程丄+丄〒=-1表示椭圆，求实数k的取值范围。k-53-k25-k>0【简解】：运用圆锥曲线的定义建立不等式组T_3〉o,可得k<-晶或心k-5^3-k2-1±后2【同

2、类题】若方程x2sina-y2cosa=(0

3、[—1,1],进一步求得倾斜角a丘[0,—]1+1C8443龙、U[―,ji)4【同类题】已知双曲线C：(1—a2)x2+a2y2=a2(a>l)的顶点为A,且C的上支交直线y=—x11o一2于点P,以点A为焦点，M(0,m)为顶点，开口向下的抛物线过点P,设PM的斜率为k,ke[、'_,6],求a的取值范围。(答案：[2,3])【解题策略】这类题明确给出了一个变量(如例「15)的范围，解题)

4、咲键寻求到所求变量5k)与已知范围变最(b)的等最关系后解关于所求变量(k=tana)的不等式，便可得解。㈢.运用

5、圆锥曲线的变化范围型22【例3】椭圆C:二+「=1(a>b>0)的长轴两端点是A、B,若C上存在点P使ZAPB=120°ab求椭闘C的离心率e的变化范围。【简解】:根据椭圆的对称性不妨设点P(X。,y0)(0Wx°Va,0Vy0Wb),可得k〃二亠-得伽120°=kpLkpB,即__1+kPAkP[}x(}+y()—乂点P在躺线上可得b2x02+a2y02=a2/?2…(2),2ab2山⑴⑵消去X。得y°=厂二°，再根据y°丘-b)(0,bj,运用变形不等式0Va/6皿j严即可得c的范围为IK2ab2【同类

6、题】使抛物线c：y=d，—i(dHO)上总有不同的两点关于直线/：x+y=0对称，试求实数a的取值范围。(本题有多种解法，这里可先设点，运用点差法和对称性得到这两点的中点PC-*-,-—),2a2a1193再根据P在抛物线C的内部建立不等式〉$(—)~-1),解得d>—)2a2a4【解题策略】这类题不象类型㈠㈡一样很容易寻找到不等关系，但是我们不难寻找到某个特征点，并发现这个点是在関锥曲线的某个区域内运动的，此时冇效利用曲线的横(纵)坐标的取值范围建立不等式求解。问题的关键在于特征点的运动范围及消去新引进参

7、数(一般为特征点的横或纵坐标)的恒等变形。222,2【相关知识点】点P(x0,y0)在曲线内部：①椭圆内也一^-+°,<1,②双lilt线内部{>a~b~ab1,③抛物线内部儿，<2pxo,反之不等号反向。㈣.直线与圆锥曲线的位置关系型【例4］已知椭圆的一个顶点为A(0,一1),焦点在x轴上，口右焦点到直线x-y+2^2=0的距离为3,若纵截距为b的直线L与该椭圆交于不同的两点M、N,当IAMITANI时,求实数b的取值范围。V2【简解】易得椭圆的方程为—+y2=l,设直线L的方程为y=kx+b,两方程联

8、立得(l+3k2)x2+6kbx+3(b2-1)=(),由△>()得3k2-b2+l>0—(1)，设M(x^y,),N(x2,y2),中点P(x0,y0)则尢i+兀？_3kbxo~~-=—~~7/V3“+/?+112比3*,乂因为AP丄MN,可得=--(kHO时)，整理得3k2+l=2b--(2),v十—匕-3kbk九_5+1]+3£2将⑵代入⑴得0VbV2,而当k=0时易知一1VbVl,所以一1Vb<2。【解答说明】木题在解答过程屮对k的讨论容易被遗漏，在这里可采用向量法即由AP丄MN,用AP・MN=O得

9、式k(3k2+b+l)=3kb可分类论顺理成章，避免遗漏。【同类题】过双曲线C：X：-a-y-1(a>0,b>0)的右焦点F作双曲线斜率大于0的渐近线的垂线L,垂足为P。设L与C的左、右两支分别交于A、B两点，求双曲线C的离心率e的变化范围。(答案:e>V2)【解题策略】这类题只要抓住两点：一•是从直线与圆锥曲线的位置关系出发，联立方程，将题设中给出的直线为圆锥曲线的位置关系转化为一元二次方程根的存在条件，列出