江苏省南京外国语学校仙林分校中学部2017--2018第一学期高二上学期期中测试数学试卷（解析版）

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1、南外仙林分校中学部2017-2018学年第一学期高二年级期中测试数学试题第Ⅰ卷(100分)一、填空题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）1.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】抛物线的准线方程为；故填.2.函数在区间[－2,3]上的最小值为________．【答案】0【解析】因为，所以，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，即当时，函数取得最小值为0；故填0.3.已知，，则以为直径的圆的方程为___________．【答案】【解析】因为，，所以以为直径的圆的圆心为，半径为，即该圆的方程为；故填.4.函

2、数的单调增区间为____________．【答案】【解析】函数的定义域为，且，令，得，即函数的单调减区间为；故填.5.若双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为____________．【答案】【解析】以直线为渐近线的双曲线方程可设为，又因为该双曲线过点，所以，即的标准方程为；故填.【技巧点睛】本题考查双曲线的几何性质；已知双曲线的渐近线方程求双曲线的标准方程时，可利用“以直线为渐近线的双曲线方程可设为”进行求解，避免对双曲线的标准方程的讨论.6.若椭圆短轴一端点到椭圆一个焦点的距离是该焦点到同侧长轴端点距离的倍，则

3、该椭圆的离心率为___________．【答案】【解析】不妨设椭圆的标准方程为，则椭圆短轴一端点到椭圆一个焦点的距离是该焦点到同侧长轴端点的距离的倍，则，即，即该椭圆的离心率为.7.函数的图象在点处的切线方程为__________________．【答案】【解析】因为，所以，则，即函数的图象在点处的切线方程为，即.8.圆心在x轴上且与直线切于点的圆的标准方程为_______________．【答案】【解析】由题意设圆的标准方程为，则，解得，即该圆的标准方程为；故填.二、解答题（本大题共4小题，每小题13分，共52分）9.(

4、1)已知双曲线：的离心率，求实数的取值范围．(2)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，若线段的长为8，求的值．【答案】(1)(2)【解析】试题分析：(1)利用双曲线的几何要素间的等量关系和离心率公式进行求解；(2)联立直线和抛物线的标准方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和两点间的距离公式进行求解.试题解析：(1)　，　∴　　(2)过焦点的直线方程为，　　　　∴　　　∴　　　　　　　∴　∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方法点睛】本题第二问考查过抛物线的焦点的弦问题；在求过抛物线的焦点

5、的弦的长度或焦半径时，利用抛物线的定义（将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离）可起到事半功倍的效果，如：过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则.10.已知椭圆的右顶点，到右焦点的距离与其到右准线的距离之比为，(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于，两点，问，两点横坐标的平方和是否为定值？【答案】(1)＋y2＝1(2)【解析】试题分析：(1)利用椭圆的第二定义（椭圆上的点到右焦点的距离与其到右准线的距离之比等于离心率）进行求解；(2)联立直线和椭圆的标准方程，整理得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.试

6、题解析：(1)由题意得：，　　∴　　　　　　　　　　∴椭圆的方程为；(2)设，，　　　　∴∴∴．11.在边长为48cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？【答案】当箱底边长为32时，箱底的容积最大为8192．【解析】试题分析：设箱底的边长为，建立箱子的体积关于的函数表达式，再利用导数求其最值.试题解析：设箱底的边长为，则箱高为箱子的容积为　　求导：当时，，当时，，∴当时，，答：当箱底边长为32时，箱底的容积最大为819

7、2．12.已知圆M：与轴相切．(1)求的值；(2)求圆M在轴上截得的弦长；(3)若点是直线上的动点，过点作直线与圆M相切，为切点，求四边形面积的最小值．【答案】(1)(2)(3)【解析】试题分析：(1)先将圆的一般方程化成标准方程，利用直线和圆相切进行求解；(2)令，得到关于的一元二次方程进行求解；(3)将四边形的面积的最小值问题转化为点到直线的的距离进行求解.试题解析：(1)　　∵圆M：与轴相切　　∴　　　∴(2)令，则　　∴　∴(3)　∵的最小值等于点到直线的距离，　∴　∴∴四边形面积的最小值为．第Ⅱ卷(60分)三、填

8、空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13.在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标是____．【答案】2【解析】若抛物线上一点到焦点的距离为3，则，解得，即点的横坐标是2.【方法点睛】本题考查过抛物线的焦点的弦问题；在求过抛物线的焦点的弦的长度或焦半径时，利用抛物线的定