数学解题分类讨论的运用与避免

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1、数学解题中分类讨论的运用3廉江市第二中学梁成冲分类讨论思想在近年的高考中频繁出现，已成为高考数学的一个热点。所谓分类讨论，就是当问题所给出的对象不能进行统一研究吋，就需耍对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。"一、分类讨论的原则及步骤1•原则：对象是确定的，标准是统一的，做到不遗漏、不重复、分层次，不越级讨论。2•步骤：⑴首先确定讨论对象与全域的范围⑵进行合理分类⑶逐类讨论，分级进行⑷归纳总结二.需要分类的问题及其解决策略1•课本中的分类问题中学数学教材

2、中分类讨论的知识点，大致有：绝对值概念的定义；根式的性质;一元二次方程根的判别式与根的情况；一元二次函数二次项系数正负与抛物线开口方向；反比例函数『=匕的反比例系数k,止比例函数的比例系数k,一次函数Xy二kx+b的斜率k与图象位置及函数单调性关系；幕函数y=x"的幕指数n的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；指数函数尸a*及其反函数y=logax中底数a的a>l及0V1对函数单调性的影响；等比数列前n项和公式中q=l与q列的区别；复数概念的分类；不等式性质屮两边同乘(除)时正数与负数对不等号方向的影响；

3、排列组合屮的分类计数原理；圆锥曲线中离心率e的取值与椭圆、抛物线、双曲线的对应关系；直线与圆锥曲线位置关系的讨论；运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k是否存在；曲线系方程屮的参数与曲线类型；角终边所在象限与三角函数符号；……当你对以上各种情况“心中冇数叩寸，分类讨论便不再令人瑕而生畏。例1.AABC中，已知sinA=—,cosB=—,求cosC213分析：由于C=龙一(A+B)/.cosC=-cos(A+B)=-[cosAcosB-sinA-sinB]因此,只要根据已知条件,求出cosA,sinB即可得cos

4、C的值。但是由sinA求cosA时，是一解述是两解？这-点需经过讨论方能确定，故解本题时要分类讨论。对角A进行分类。C1O解：V0

5、26例2已知圆x2+/=l,求经过点P(2,1),且与圆相切的直线方程。分析：首先设出直线的点斜式方程y・l=k(x・2),再利用圆心到直线的距离等于圆的半径，求出k,从而得到所求直线方程。但述存在另外一种情况，就是斜率不存在的情形也符合题意。因此本题对过点P的直线分斜率存在时和斜率不存在时两种情形。评注：在数学解题中要注意常见的“个别”情形。如：⑴若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为兰+上=1,但有个别情形：aba=0吋，再不能如此设，应另行考虑・(2)等比数列⑺}的前n项和公式=i-q中有个别情形

6、:q=l时,公式不再成立,而是Sn=a{；(3)"方程a*+bx+c=0有实数解”转化为“△=戾-4«no”时忽略个别情形：当a=0时，方程有解但却不能转化为△»().2.含参数问题中学数学中有含参数的函数、方程、不等式、解析儿何、立休儿何、数列等问题，即能与所有知识点交汇，是高考中的重点内容。例3(2004高考辽宁卷18题)设全集U=RO(I)解关于x的不等式x-l

7、+t7-1>0(ag分析：解含绝对值不等式吋，木题需变形后对右式的正负进行讨论，才能正确去掉绝对值符号.解：曲卜—l

8、+a—1>0,彳寻

9、x

10、—1

11、>1—6/.j①当a>l时，解集是R;②当aSl时，解集是{小<°或兀>2-°}评注：本题易忽视对1-°<0的讨论而被扣分。此类问题关键是掌握常见的概念、法则即可。例4：设f(x)=lg(l+x)(I)证明/⑴在[0,+oo)上是减函数(II)当a>01(l+x)lnl0时，解关于x的不等式lg(1+

12、兰f

13、)一

14、誓

15、>lg2-1,f(x)<0•••f(兀)在xe[0.+OO)上递减。(II)lg(1+倍IH兰r

16、>lg2-1O/(tel)>/(!)<=>tel<1oax<

17、x—1

18、o(ax)?v

19、(at—1)_<=>[(cz+l)%——1)乂+1]0,解集为-rG(_o0^)U(-i^9+00)%1当Q1时，原不等式o(兀-制(兀-尙)<0o解集为兀丘(七，繭。评注：此类问题耍注意在什么吋候讨论，对什么数值讨论，耍符合分类讨论的原则。2.多条件