浅谈简化和避免分类讨论的解题方法

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1、浅谈简化和避免分类讨论的解题方法和宴第一屮拷田丈武（23^200）【摘要】：运用分类讨论的思想方法解题，可以化整为零，化复杂为简单，化全面解决为局部解决，这是我们解题的一个重要策略；但在有些情况下，其过程较为繁琐，对使用者的思维严谨性要求较高，因此也容易造成解题中的失误.故我们在掌握这一方法的同吋，提倡克服思维定势，学会简化或避免分类讨论的一些解法，以达到方法上的优势互补.【关键词】：分类讨论思想方法思维定势回避讨论解题方法1•巧用公式，冋避讨论例1.已知cota=m,ae（兀,2兀）,求cosa的值.分析：若选

2、用公式tan<2=—!—,cos<7=±.*=來求，必须对ag分cot&V1+tan26Z两部分ae（371、（3—）和QW—2兀12JL2丿分别讨论cosaJJcin的符号;若根据a€（兀,2兀）的范围，直接选川恰当的平方关系式，则町有效地避开讨论.【解析】ae（兀,2兀）,・°・sinav0,・'・sina=——.=——〔Vl+cot2a71+m2故cosa=cota•sina=mJ1+m2【能力提升】由于三角函数部分公式繁多，解题中要尽量避免由于角的条件去讨论三角函数的符号，因此选择恰当的公式，可回避讨论，

3、化繁为简.2.引参换元，回避讨论X例2•解不等式〉x2-l兀2+「分析：本题按常规解法是去分母，两边平方去根号，而且需耍讨论左右的正负情况，若我们注意观察原不等式，引入参数，进行三角换元，可避免繁琐的解题过程.【解析】令…心十詞,则原不等式可化为：2诃—,解得—vsin<1,故—

4、易，因此解题中，尽可能地引入参变量.3.分离参数，反客为主，回避讨论例3.若函数y=（兀一l）log32a-6%log3q+兀+1在兀w[0,1]内恒正，求a的取值范围.分析：本题若用条件y>0,即(x-l)log32a-6xlog?q+x+1〉0在xw［0,1］内恒成立，解关于。的不等式，再利用0<%<1,求g的取值范围，运算十分复杂，若将y=(x-l)log32tz-6xlog3q+兀+1看成直线，贝ij可得如下简捷的解法.【解析】/(x)=(log32a-6log3a+l)x-log32a,因为函数)/(兀

5、)在xg［0,1］内恒正，所以/(兀)表示的线段AB恒在兀轴上方，即两端点在兀轴上方.a>0,a〉0,/(0)>0,fl-log32tz>0,—VQV^/3.3/(l)>0,B

6、jJ-61og36z+2>0,【能力捉升】本题通过变换主元，避免了复杂的分类讨论及繁琐的运算，同时，乂把Illi线问题转化成肓线问题，不仅避免了分类讨论，又使“考察对象”简单化了，值得很好地借鉴.一般在含参数的方程或不等式中，若能通过适当的变形，使方程或不等式的一端只含冇参数的解析式，另一端是无参数的主变元函数，从而分离参数，反客为主，接

7、下去需解有关主变元函数的有关问题，往往可以回避讨论.2.消除参数，回避讨论例4•设0V兀V1卫>0,aH0,试比较

8、log“(1-划与

9、10艮(1+X)的大小.分析：一般情况下比较大小我们釆用作差△=

10、loga(l-x)

11、-

12、loga(l+x^对底数d的取值范围加以讨论脱去绝对值符号，因。是讨论因索，若能消去参数a,则町避免讨论，何乐而不为呢！为此作商，运用换底公式，可得到明显的效果.・+*一

13、l°g(z)(l-兀卜-log(1+.t)(l-x)=log(M-^,>1+兀,・・・log(g)占>log(I+x)(

14、l+兀)=1,・・・

15、log」l-划>

16、log」l+划.【能力提升】这里用“消参法”避免了分类讨论，使问题简单了，此类方法是解题的“高层次”方法，需要在平时解题屮加强观察、总结和训练.3.整体化归，回避讨论例5.若函数/(%)二Q+logfl(兀+1)在［0,1］的最大值与最小值之和为。，求°的值.分析：指数函数与对数函数的底都是待定参数d,—般情况下会想到用分类讨论的方法求解，但若注意到两个函数具有相同的单调性，那么它们的最大值总是在一个闭区间的两个不同端点处取得，由此岀发可以避开讨论.【解析】・・・/与log

17、“(x+l)有相同的增减性，・・・/(兀)是给定区间上单调函数.由+loga1+a+log“(1+1)=a得log“2=-1,【能力提升】将数学问题分成若干问题，逐个击破，分而治Z固然重要，但冇时若能冇意识的放人看问题的视线，将问题视为整体，去研究幣体的形式与结构，可能会起到意想不到的效果.2.数形结合，回避讨论例6.已知集合A={xlg(x2-2ax+a2+I)