1100730112数学史论文

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1、《数学史》结课论文题目：论数学发展史上的三大危机院系：数学与计算科学学院专业：数学与应用数学姓名学号：唐利娟1100730112指导教师：荣继红日期：2014年5月14日论数学发展史上的三大危机摘要:本文主要介绍了数学发展史上的三大危机的成因和对数学发展的影响，通过对三大危机的了解我们将能够更加详细的了解数学的发展史。希帕索斯发现了第一个无理数，从而促使了第一次数学危机的发生。而几何学中不可通约量的引进使欧式几何变得更加完善。第二次危机源自于莱布尼茨提出的“无穷小量是零还是非零”，而后，柯西提出极限理论，使微积分更完善。之后罗素悖论的提出，促使了第三次数学危机的发生。而后，弗芝

2、克尔改进策梅罗的七条公理得出公理系统，使得集合论得到了发展。关键词：危机无理数无穷小罗素悖论引言：数学,绝对不是只有加、减、乘、除那样简单的运算而已。它是一个早从“石器时代”就开始发展的一段历史，是一个演变和提升的过程。德国数学家汉克尔曾有一段精彩的论述：“在大多数学科里，一代人的建筑往往被另一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人的创造所破坏。唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。”论述非常精彩，而数学也历来被视为严格、和谐、精确的学科，但纵观数学发展史，数学发展从来不是完全直线式的，它的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。数学史上的三次危机，就时时提醒着人们，古老的数学

3、大厦，也是需要修理和加固的。1第一次数学危机1.1历史文献公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲[2]学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐。他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数），除此之外不再有别的数，即世界上只有整数或分数。[3]毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系，和分别代表直角三角形的两条直角边，表示斜边。然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快发现边长相等的正方形其对角线

4、长并不能用整数或分数来表示。假设正方形边长为1，并设其对角线长为，依勾股定理应有，即，那么是多少呢？希伯斯花了[4]很多时间来寻找答案，结果发现两数不可通约性的证明，用反证法证明如下：设，两直角边为，则由勾股定理有，设已将和中的公约数约去，即、已经互素，于是为偶数，为奇数，不妨令，则有，，于是为偶数，这与前面已证为奇数矛盾。这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。1.2影响和意义毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，历史上称为第一次数学危机。第一次

5、数学危机也极大的推动了数学及其相关学科的发展。首先，它让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了。之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个包含有理数和无理数的新的数[4]类——实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。再者，第一次数学危机表明，推理证明才是可靠的。从此希腊人开始重视演绎推理，并[6]由此建立了几何公理体系，欧氏几何应运而生。第一次数学危机极大地促进了几何学的发展,使几何学成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。2第二次数学危机2.1历史文献公元17世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，

6、微积分能提示和解释许多自然现象，它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起人们高度的重视。然而，因为微积分才刚刚建立起来，这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，还不能自圆其说。[6]例如牛顿当时是这样求函数的导数的：=+++„„+，然后用自变量的增量除以函数的增量，/=[-]/=+••+……+＋,最后，扔掉其中含有无穷小量的项，即得函数的导数为。对于牛顿对导数求导过程的论述，哲学家贝克莱很快发现了其中的问题，他一针见血的指出：先用为除数除以，说明不等于零，而后又扔掉含有的项，则又说明等于零，这岂不是自相矛盾吗？因此贝克莱嘲弄无穷小是“逝去的量的鬼

7、魂”，他认为微积分是依靠双重的错误得到了正确的结果，说微积分的推导是“分明的诡辩”。这就是著名的“贝克莱悖论”。那么，无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？贝克莱悖论的出现危及到了微积分的基础，引起了数学界长达两个多世纪的论战，从而形成了数学发展史中的第二次危机。2.2影响和意义第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量，为了解决这一危机，无数人投入大量的劳动。初期，欧拉、拉格朗日经过努力使微积分取得了一些进展；从19世纪开始，柯西、外尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严