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1、开放探究，别致璀璨高考数学开放探索题型大解密湖南省临澧-•中朱福文415200数学开放题是相对于条件完备、结论确定的封闭题而言的，是指那些条件不完备、结论不确定的数学问题。条件完备、答案固定的数学题在发展学牛思维、提高学牛素质方面带有一定的局限性，而开放性试题以其复杂多变、综合性强、知识覆盖面宽，注重考察探索粕神和创新意识等特征而逐渐成为高考热点。纵观近几年高考试题，开放性试题的趙势有增无减。本文对部分高考数学开放探究性试题进行归类解析，以供参考。一、条件追溯型此类试题屮结论给出，但题设的条件不充分，需探求结论成立的条件或部分条件
2、。其主要类型包括条件未知、条件不足、条件右余、条件右谋四种情况，高考中以前两种居多一般需执果索因，分析倒推探求结论成立的条件.求解此类问题时，应运用“执果索因法”寻求结论成立的充分条件。例1已知a,b,c均为正数,证明：cr--b~+c~+(—I1—)~n6V3，并确定a,b,c为何值时，等号成立。abc【解析】因为a,b,c均为正数，由平均值不等式得\iv—+—+—>9(abc)3②Iabc)a2+h2+c2>3(ahcY1I1~—+—+—>3(abc)'ahc故丁+戸+c?+(丄+丄+丄尸n3(abcy+9.abc2_2_
3、乂3(abcY+9(abcV>2^27=6^3③二原不等式成立.22当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当3(abcY=9ab^时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=3^时，原式等号成立。例2在平面直角坐标系中，双曲线厂的中心在原点，它的一个焦点坐标为(、仮,())，。=(2,1)、£2=(2,—1)分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线「上的点P,若OP=ae+be-,(a>bwR),贝Uab满足的一个等式是。【解析】因为&=(2,1)、^2=(2,-1)是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为y=±—x,乂c=
4、Ji,：・a=2,b=2—(a—b)2=l,化简得4ah=l4评注：对于条件未知的探索性问题，可用执果索因的演绎法或由特殊到一般的归纳法。而另--类缺少条件的探索性问题，则一般从结论出发，并利用已知条件，进行逆向推理，推得的终结点便是所求的条件。这类题的答案往往是不唯一的，答案与己知条件对整个问题而言只要充分的、相容的、独立的，就视为止确的，对于考査学牛发散性思维能力有较好作用。二、结论探索型此类题型的结论不明确，或结论不唯-。求解此类问题吋，可以“执因索杲”直推结论，也可以综合运用观察，分析、类比、划归、讨论等方法探索结论，再
5、“执果索因"，论讦结果。例3已知定点A(—1,0),F(2,0),定直线不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线/的距离的2倍•设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点，直线的、AC分别交/于点M、N(I)求E的方程；(11)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理山.【解析】⑴设PC"),则7U-2)2+y2=2Ix——I,化简得d_2L=i(yH0)23⑵①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k{x~i)(£H0)与双曲线x2-y=1联立消去y得(3-/:)2x2+4k2x~(4P+3)=0由题意知3—沿0
6、且△>(),设3%,力)，C&2,y2)，则yy2=k2(xi—2)(兀2—2)=-9k2k2-3而…工-1，故直咖的方程为尸注(卄1),4点的坐标为q,胡)丽之弓話)’同理可得顾N弓缶)••励兩%1当冇•线BC与兀轴垂冇•时，易得丽顾=0综上FMFN=0,即FM丄FN,故以线段MN为直径的圆经过点F。评注：这类问题一般结论都不确定或不惟一，常需由特殊出发，归纳、弓I川、推广到一般情况.由浅人深，由特殊到一般，灵活运用归纳、类比、分类讨论等数学思想方法多角度地进行探索.四、存在判断型由已知条件判断结论是否存在的探索性问题，这类题
7、型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般是先对结论作出肯定的假设，然后由此出发，结合已知条件进行推理论证。若导出合理的结论，则存在性随Z解决;/i//•z/•/•111111111•“•/••••/•/•■二•♦••■•■■■/••ZD】BiED若导出了矛盾，也就否定了存在性。例4如图所示，在止方体ABCD—A]BiC
8、D]中，E是棱DD】的中点。■(I)求直线BE与平而ABB]A
9、所成的角的正弦值；(II)在棱C
10、D
11、±是否存在一点F,使B
12、F〃平而A.BE?证明你的结论。【解析】
13、(I)以AB、AD、AA]分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角处标系易求直线BE与平面ABBA所成的角的」(II)设n=(x,y,z)是平而A
14、BE的一个法向量，则由n•BA}=0,n•BE=0得，-x+z=0,-x+y+—z=0,.・.x==—Z，
