1.3.1圆幂定理

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1、圆幂定理学案一、复习回顾圆周角定理：推论1：推论2：推论3：弦切角定理：推论：二、小组探究★活动一：过圆内或圆外某定点P做两条直线与圆有交点，有哪几种情形?思考：这些图形中，你知道哪些与P有关的长度关系？★活动二：在剩下几个图形中，过P点的这两条直线分别与圆交于A、B和C、D两点，你能否作恰当的辅助线，不引入新点的情况下在各图中找到均包含点P的一组相似三角形吗？（1）（2）（3）★活动三：由三角形的相似性，分别证出含定点P的线段的乘积关系的等式（1）（2）（3）思考：这几个定理有没有共同的特征？你能否用一个通式表示出来？三、探索新知圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割

2、线定理及割线定理的统一。例如交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PA∙PB=PC∙PD。圆幂定理已知⊙(O,r)，通过一定点P，作⊙(O,r)的任一条割线交圆于A、B两点，PA∙PB=k，则：①当P在圆外时，k=②当P在圆内时，k=③当P在圆上时，k=四、典例分析例1已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段，第二条弦的长为32cm，求第二条弦被交点分成的两段的长例2已知：线段a，b如图所示.求作：线段c，使c2=ab.例3已知：如图所示，在⊙O中，C是⊙O上异于A、B的一点，弦AB的延长线与过点C的切线相交于P，过B作⊙O的切线交CP于点D，且∠

3、CDB=90∘,CD=3，PD=4.求⊙O的弦AB的长例4如图所示，PA，PB切⊙O于点A，B，PC是角∠BPA的平分线，交⊙O于点C，且PA=PB=80cm，PC=40cm.求⊙O的直径五、高考链接(2015年全国1卷高考题)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M、N两点(1)求k的取值范围(2)若OM∙ON=12，其中O为坐标原点，求MN七、作业必做题1.选择题：如图，⊙O的两条弦AB，CD相交于点E,AB和CD的延长线交于点P,下列结论中成立的是（）APC∙CA=PB∙BDBCE∙AE=BE∙DECCE∙CD=BE∙BADPB∙PD

4、=PC∙PA2.已知：Rt∆ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm和4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D.求BD的长.3.如图，在两个同心圆中，AB是大圆的直径，大圆的弦EF是小圆的切线，OA=6,AC=2.求EC.4.如图是一个圆弧的一部分，半径是5，E是AB的中点，已知弓形AFB的高EF=3，CE:ED=3:4，求CD的长5.如图线段AB和⊙O交于C、D，AC=BD,AE,BF分别切⊙O于E、F.求证：AE=BF选做题（2016年四川理科高考题）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l:y=-x+3与椭

5、圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程和点T的坐标;(2)设O是坐标原点，直线l'平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得PT2=λPA∙PB，并求λ的值