2019高考数学考点突破——基本初等函数:指数函数学案

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1、指数函数【考点梳理】1.根式的性质(1)()n=a.(2)当n为奇数时,=a.(3)当n为偶数时,=

2、a

3、=(4)负数的偶次方根无意义.(5)零的任何次方根都等于零.2.有理指数幂(1)分数指数幂①正分数指数幂:a=(a>0,m,n∈N*,且n>1);②负分数指数幂:a==(a>0,m,n∈N*,且n>1);③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.(2)有理数指数幂的运算性质①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).3.指数函数的图象与性质图象a>10<a<

4、1定义域R值域(0,+∞)性质过定点(0,1)当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1在R上是增函数在R上是减函数【考点突破】考点一、指数幂的运算【例1】化简下列各式:6(1)+2-2·-(0.01)0.5;(2)a·b-2·(-3a-b-1)÷.[解析](1)原式=1+×-=1+×-=1+-=.(2)原式=-b-3÷(4a·b-3)=-b-3÷(a)=-·=-·=-.【类题通法】1.指数幂的运算,首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序

5、.2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.【对点训练】1.求值:-0++16-0.75+=________.[答案][解析]原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1=-1+++=.2.化简:(2·)(-6·)÷(-3·)=________.[答案]4a[解析](2·)(-6·)÷(-3·)=÷=4a+·b+6=4a1·b0=4a.考点二、指数函数的图象及应用【例2】(1)函数f(x)=2

6、x-1

7、的图象是(  )(2)若函数f(x)=

8、2x-2

9、-b有两个零点,则实数b的取值范围

10、是________.[答案](1)B(2)(0,2)[解析](1)由题意得f(x)=结合图象知选B.(2)将函数f(x)=

11、2x-2

12、-b的零点个数问题转化为函数y=

13、2x-2

14、的图象与直线y=b的交点个数问题,数形结合求解.在同一平面直角坐标系中画出y=

15、2x-2

16、与y=b的图象,如图所示.∴当0

17、2x-2

18、-b有两个零点.∴b的取值范围是(0,2).【类题通法】指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.(2)与指数函数有

19、关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.【对点训练】1.函数f(x)=1-e

20、x

21、的图象大致是(  )A    B    C    D[答案]A6[解析]将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)=1-e

22、x

23、是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A满足上述两个性质.2.若曲线y=

24、2x-1

25、与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围是.[答案](0,1)[解析]曲线y=

26、2x-1

27、与直线y=b的图象如图所示,由图象可得,如果曲线y=

28、2x-1

29、与直

30、线y=b有两个公共点,则b的取值范围是(0,1).考点三、指数函数的性质及应用【例3】已知a=,b=,c=,则(  )A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b[答案]A[解析]a==,b=,c==.∵y=在第一象限内为增函数,又5>4>3,∴c>a>b.【类题通法】比较指数式的大小的方法是:(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小.【对点训练】下列各式比较大小正确的是(  )A.1.72.5>1.73B.0.6-1>0.62C.0.8-0.1>1.250.2D.1.70.3<0.

31、93.1[答案]B[解析]A中,∵函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<3,∴1.72.5<1.73,错误;B中,∵y=0.6x在R上是减函数,-1<2,∴0.6-1>0.62,正确;C中,∵(0.8)-1=1.25,∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.∵y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2,∴1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2,错误;D中,∵1.70.3>1,0<0.93.1<1,∴1.70.3>0.93.1,错误.故选B.【例4】不等式x-3>16的解集为________.6[答案]{x

32、x<1}[解

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