《实数》全章复习与巩固（提高）知识讲解

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1、《实数》全章复习与巩I（提咼）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】►有理数L实数的分类——>>无理数实数>用数轴上的点

2、表示实数一>运算法则及运算性质—实数的运算十―>近似数及近似计算数的开方>分数指数幕>有理数指数幕>运算性质【要点梳理】要点一、平方根和立方根型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示±^/al/a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论(V^)2=a(a>0)厂T[a(a>0)7cr=a=〈[-a(a<0)=a=aa=-[a要点二、斤次方根如果一个数的n次方（“是大于1的整数）等

3、于d,那么这个数叫做u的〃次方根.当/?为奇数时，这个数为G的奇次方根；当7?为偶数时，这个数为G的偶次方根.求一个数d的料次方根的运算叫做开料次方，a叫做被开方数，n叫做根指数.实数d的奇次方根有且只有一个，正数d的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的n次方根等于零.要点三、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类IE有理数、有理数0有限小数或无限循坏小数实数£无理数〔正无理数负无理数无限不循坏小数负有理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，

4、无限不循环小数.其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数.（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如厉，蚯等;②有特殊意义的数，如兀；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与Z对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们己经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实

5、数Q的绝对值是非负数，即丨。

6、20;（2）任何一个实数。的平方是非负数，即（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即V^>0（€Z>0）.非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数G的相反数是一G;—个正实数的绝对值是它木身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减•同级运算按从左到右顺

7、序进行，有括号先算括号里.5•实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2.正数大于0,0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.要点四、近似数及有效数字1•近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近

8、似程度的要求叫做精确度.要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位.②保留儿个有效数字.3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2,0,8.要点五、分数指数寤man(d>0),其中mm上面规定中的川7和/齐叫做分数指数幕，6/是底数.整数指数幕和分数指数幕统称为有理数指数幕.要点诠释：设Q>0,b>0,p、q为有理数，那么(1)apOiq=ap+q,ap^aq=ap~q.(2)(ap^=apq.(3)(a

9、bV=apbp^=—.【典型例题】类型一、有关方根的问题V1、(2015春•仙桃校级期末)一个正数的x的平方根是2a-3与5・a,求a和x的值.【思路点拨】根据平方根的定义得LB2a-3+5・a=0,进而求出a的值，即可得出x的值.【答案与解析】解：•・•一个正数的x的平方根是2a-3与5-a,A2a・3+5・a=O,解得：a=-2,・*.2a-3=-7,・・・x=(・7)乙49.【总结升华】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键.举一反三：【变式1】已知y=V^2+V2^I+3