函数与方程思想在数学解题中的应用

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1、函数与方程思想在数学解题中的应用函数与方程思想在数学解题中的应用函数与方程的思想是中学数学的基本思想，是高中数学的一条主线，也是历年高考的重点•函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，函数思想使常量数学进入了变量数学，即用函数的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去解决问题；方程思想就是分析数学中变量间的等量关系，建立方程或方程组，运用方程的性质去解决问题•对于函数y二f(x),可转化到二元一次方程y-f(x)二0•如解方程f(x)二0求函数y二f(x)的零点•因此，许

2、多有关方程的问题可以用函数的方法去解决；反之，许多有关丙数的问题也可用方程的方法去解决.函数与方程思想在解题中应用广泛：如函数与方程两者之间的相互转化，在集合、导数与不等式中，在数列、三角函数与平面向量中，在解析几何、立体几何中都可以充分体现，本文就它在数学解题中的应用举例分析，供同学们参考一、函数与方程两者之间的相互转化例1若方程2a-9sinx+4a•3sinx+a-8二0有解，则a的取值范围是.解析令t=3sinx,则te［,3］,方程可转化为:2at2+4at+a_8=0①(方法一)记f(t)=2at2+4at+a-8,则

3、原问题转化为f(x)=0在［,3］内有解(即有一解或两解)，留意到f(t)的对称轴t=-l［,3］,・・・f(t)二0在［,3］内不可能有两根,・・・f(t)二0在［,3］有一根只须f()-f(3)W0,即(++a~8)•(18a+12a+a_8)WO,・•・(-8)•(31a-8)WO,・・・WaW・(方法二)由①转化为a二二.Vte[,3],・・・2(t+1)2-1e[,31],/.ae[,]・点评本题先通过换元转化到熟悉的一元二次方程，接下來再转化到二次函数的零点问题，并结合二次函数图像性质，再用两种方法计算出答案，前者方程

4、思想，后者函数思想，明显看出利用分离常数求函数值域更为简单，这更加体现函数思想在解题中的实效性.二、函数与方程思想在集合中的应用例2设A二{x

5、x2+4x二0},B={x

6、x2+2(a+1)x+a2-l=0},若BA,求实数a的取值范围.解析由A二{x

7、x2+4x=0}={x

8、x=0或x=-4}={0,-4}・VBA,・・・B二或B二{0}或B二{-4}或B二{0,-4}・当B二时，即x2+2(a+1)x+a2T二0无实根，由△〈()，即4(a+1)2-4(a2-l)<0,解得a<-l；当B={0}时,由根与系数的关系：0+0=-

9、2(a+l),0X0=a2-la=-l；当B={-4}时，由根与系数的关系:-4-4二-2(a+1),(-4)X(-4)二a2-laG；当B={0,-4}时,由根与系数的关系:0-4二-2(a+1),0X(-4)二a2Ta二1；综上所得a二1或aW-l・点评对于稍复杂的某些集合题目，一定要全面考虑并仔细审题,防止解的取值扩大或缩小•木题考查了方程思想、分类讨论思想•首先要确定对集合B多种情况的讨论，千万不能遗忘B二这一特殊情形；再分别利用方程求根公式及韦达定理求解，最后答案必须进行检验,否则解的取值可能扩大.三、函数与方程思想在不

10、等式中的应用例3已知二次函数f(x)二ax2+bx+c・(1)若a>b>c,且f(1)二0,证明f(x)的图像与x轴有2个交占.八、、9(2)在(1)的条件下，是否存在mR,使当f(m)二-a成立吋，f5+3)为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；(3)若xl,x2ER,且xlb>c,/.a>0且c〈0,AA=b2-4ac>0,Af(x)的图像与x轴有两个交点.(2)•・•

11、f(1)二0,・・・1为f(x)二0的一个根，由韦达定理知另一根为•又TaX)且c<0,Ab>c,b=-a-ca>0,a>-a-c-2〈〈0,则a.(m-)(m-1)二一a〈0,A+3>-2+3二1.•・・f(x)在(1,+8)单调递增,・・・f(m+3)>f(1)=0.即存在这样的ni使f(m+3)>0.(3)令g(x)二f(x)-[f(xl)+f(x2)],则g(x)是二次函数.Vg(xl)•g(x2)=[f(xl)-][f(x2)-]二-[f(xl)-f(x2)]2W0,乂Tf(xl

12、)Hf(x2),g(xl)・g(x2)<0,/.g(x)二0的根必有—个属于(xl,x2).点评本题是典型的函数、方程、不等式交汇的综合题•考查考生的读题，审题，计算，推理，阅读理解的数学能力•此题虽然解题思路较为清晰，但涉及到的变量较多，难度偏大