实验二 利用DFT计算线性卷积

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1、数字信号处理实验报告实验二利用DFT计算线性卷积一、实验目的1.掌握利用FFT计算线性卷积的原理及具体实现方法。2.加深理解重叠相加法和重叠保留法。3.考察利用FFT计算线性卷积各种方法的适用范围。二、实验设备与环境计算机、MATLAB软件环境三、实验基础理论1、线性卷积与圆周卷积设为L点序列，为M点序列，和的线性卷积为：的长度为：L+M-1，和的N点圆周卷积为：其中：此时圆周卷积等于线性卷积，而圆周卷积可利用FFT计算。2、快速卷积利用FFT计算线性卷积步骤如下：（1）为了使线性卷积可以利用圆周卷积来计算，必须选择；同时为了能使用基2-FFT完成卷积运算，要求。采用补零的办法是和的长

2、度均为N。（2）计算和的N点FFT（3）组成卷积（4）利用IFFT计算IDFT，得到线性卷积y(n)3、分段卷积我们考察单位取样响应为的线性系统，输入为，输出为，则7数字信号处理实验报告当输入序列时再开始进行卷积，会使输出相对输入有较大的延时，再者如果序列太长，需要大量的存储单元。为此，我们把，分别求出每段的卷积，合在一起其到最后的总输出。这种方法称为分段卷积。分段卷积可细分为重叠相加法和重叠保留法。重叠保留法：设的长度为，的长度为M。我们把序列分成多段N点序列，每段与前一段重叠M-1个样本。由于第一段没有前一段保留信号，为了修正，我们在第一个输入段前面填充M-1个零。计算每一段的圆周

3、卷积，则其每段卷积结果的前M-1个样本不等于线性卷积值，不是正确的样本值。所以我们将每段卷积结果的前M-1个样本舍去，只保留后面的N-M+1个正确输出样本，把这些输出样本合起来得到总的输出。利用FFT实现重叠保留法的步骤如下：（1）在前面填充M-1个零，扩大以后的序列为（2）将分为若干N点子段，设L=N-M+1为每一段的有效数据长度，则第i段的数据为：（3）计算每一段与的N点圆周卷积，利用FFT计算圆周卷积：（4）舍去每一段卷积结果的前M-1个样本，连接剩下样本，得到卷积结果。重叠相加法：设长度为M，将信号分解成长为L的子段，建议L选择与M数量级相同。以表示每段信号，则7数字信号处理实

4、验报告每一段卷积的长度为L+M-1，所以在做求和时，相邻两段序列有M-1个样本重叠，即前一段的最后M-1个样本和下一段的前M-1个序列重叠，这个重叠部分相加，再与不重叠部分共同组成输出。利用FFT实现重叠保留法的步骤如下：（1）将分为若干L点子段。（2）计算每一段与的卷积，根据快速卷积算法利用FFT计算卷积。（3）将各段（包括重叠部分）相加，得到输出。4、可能用到的MATLAB函数实验中FFT运算可采用MATLAB中提供的函数fft来实现。MATLAB提供了函数conv来计算线性卷积，实验中可以将编程计算的结果和conv函数的计算结果相比较，以验证结果的正确性，conv函数用法如下：y

5、=conv(x,h),x和h为要进行卷积运算的两个序列，y为卷积结果统计程序运行时间可以利用MATLAB提供的tic和toc两个命令，具体用法如下：tic……需要运行的程序代码toc即，在需要统计运行时间的程序代码前加上tic命令，之后加上toc命令，此时会在命令窗口中显示该程序的运行时间。四、实验内容假设要计算序列x(n)=u(n)-u(n-L),0£n£L和h(n)=cos(0.2pn),0£n£M的线性卷积，完成以下实验内容。1、设L=M，根据线性卷积的表达式和快速卷积的原理，分别编程实现计算两个序列线性卷积的方法，比较当序列长度分别为8,16,32，64,256,512,102

6、4时，两种方法计算线性卷积所需时间。（1）、线性卷积实验代码：forn0=3:10L=2^n0;x=ones(1,L);h=cos(0.2*pi.*x);7数字信号处理实验报告ticy=conv(x,h);tocendElapsedtimeis0.000511seconds.Elapsedtimeis0.000686seconds.Elapsedtimeis0.000091seconds.Elapsedtimeis0.000075seconds.Elapsedtimeis0.000098seconds.Elapsedtimeis0.000154seconds.Elapsedtimeis

7、0.000289seconds.Elapsedtimeis0.000744seconds.（2）、快速卷积实验代码：forn0=3:10L=2^n0;M=2^n0;x=[ones(1,L),zeros(1,M-1)];n2=0:M-1;h=[cos(0.2*pi*n2),zeros(1,L-1)];ticX=fft(x);H=fft(h);Y=X.*H;y=ifft(Y);tocendElapsedtimeis0.000040seconds.E