连续介质力学习题二

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1、连续介质力学习题二二．变形与运动2-1如果物体在运动过程中保持任意两点间的距离不变，则称这样的运动为刚体运动，试证：物体的运动若为刚体运动，则参考构形中的物质点变换到当前构形中的空间位置时，必满足：，其中为正常正交仿射量。2-2现取物质坐标系和空间坐标系为同一个直角坐标系，其单位基向量为，有一物体的变形为：，试写出以下各量：1）变形梯度张量和变形梯度张量之逆；2）右，左Cauchy-Green张量；并计算和的三个主不变量；3）写出和的特征方程，并求出三个特征值和相应的特征方向和。4）试给出极分解中的左伸长张量和正交张量的矩阵表示。X3X2X1x2x1x3

2、题2-2图XYaabb题2-3图2-3现取物质坐标系为直角坐标系{X，Y，Z}，空间坐标系为圆柱坐标系，令z轴与Z轴重合，与X轴重合，图示长方体发生纯弯曲，变形满足，且存在逆关系：，，试写出以下各量：1）变形梯度张量和变形梯度张量之逆；2）右，左Cauchy-Green张量；并计算和的三个主不变量；3）写出和的特征方程，并求出三个特征值和相应的特征方向和。2-4现取空间坐标系为直角坐标系，其单位基向量为，有一物体的小变形位移场为，试求：（1）P（0，2，-1）点的小应变张量，小转动张量及其反偶矢量；（2）求P点在方向上的线应变；（3）求P点在和二方向上的

3、直角的变化量。2-5现取物质坐标系和空间坐标系为同一个直角坐标系，其单位基向量为，有一物体的变形为，，，试证明：当A,B,C很小时，此位移场仅为一刚体转动，并求出转动矢量。2-6取物质坐标系和空间坐标系为同一个直角坐标系，其单位基向量为，有一物体的运动为：，，，试求物质和空间速度分量。2-7对不可压缩材料，试证Green应变的迹满足：，故当为小量时，为二阶小量。2-8试证：物体的运动为刚体运动的充要条件是变形率张量（Killing定理）。2-9试证物质旋率的反偶矢量可写为，其中和分别为随体坐标系中的逆变基和协变基。2-10如果速度场为势的梯度，即存在光滑

4、标量场，使得，试证有：，因此加速度场也是某势函数的梯度。2-11在Euler描述下，考虑速度满足的定常流动，其中为常仿射量，如果加速度场是势函数的梯度，试证：（1）是对称仿射量；（2）物质旋率的反偶矢量满足，其中为变形率张量。2-12在习题2-2给出的简单剪切变形中，如果是时间t的函数，试写出相应的速度梯度，变形率张量和物质旋率的表达式。