2019-2020年高考数学 破解命题陷阱 专题27 快速解决直线与圆锥曲线综合问题的解题技巧

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1、2019-2020年高考数学破解命题陷阱专题27快速解决直线与圆锥曲线综合问题的解题技巧一．命题陷阱1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱2.范围不完备陷阱3.圆锥曲线中三角形面积公式选取陷阱4．不用定义直接化简的陷阱（圆锥曲线定义的灵活运用）5.圆锥曲线中的求定点、定直线只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱6.圆锥曲线中的求定值只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱二、知识回顾1.椭圆的标准方程(1)，焦点，其中．(2)，焦点，其中2.双曲线的标准方程(1)，焦点，其中．(2)，焦点，其中3．抛物线的标准方程(1)．对应的焦点分别为

2、：.三．典例分析1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱例1.设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.【答案】（1），.（2），或.（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.【陷

3、阱防范】：分析题目条件与所求关系，恰当选取是否使用韦达定理练习1.已知椭圆，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为，最小距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以线段为直径的圆恒过点?若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】(1)椭圆方程为;(2)以线段为直径的圆恒过点.下面证明为所求：若直线的斜率不存在，上述己经证明.若直线的斜率存在，设直线，，由得，，，，.∴，即以线段为直径的圆恒过点.练习2.设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，

4、到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.【答案】（1），.（2），或.【解析】（Ⅰ）设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.练习3.已知椭圆：，曲线上的动点满足：.（1）求曲线的方程；（2）设为坐标原点，第一象限的点分别在和上，，求线段的长.【答案】(1);(2).【解析】（1）由已知，动点到点，的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，而，，所以，故椭圆的方程为.（2

5、）两点的坐标分别为，由及（1）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为.将代入中，得，所以，将代入中，得，所以，又由，得，即，解得，故2.范围不完备陷阱例2.已知椭圆：的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为、，当动点在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点、，求四边形面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由题设知，，又，解得，故椭圆的方程为.故四边形的面积为.由于，且在上单调递增，故，从而，有.当且仅当，即，也就是点的坐标为时，

6、四边形的面积取最大值6.【陷阱防范】：涉及含参数问题，求最值或范围时要注意运用均值不等式还是运用函数的单调性.练习1.设点，动圆经过点且和直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设曲线上一点的横坐标为，过的直线交于一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点，若是的切线，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】(1)过点作直线垂直于直线于点，由题意得，所以动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线.所以抛物线得方程为.，解得，或..而抛物线在点的切线斜率，，是抛物线的切线，，整理得，解得（舍去），或.练习2.已

7、知双曲线的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点。(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线，直线与双曲线交于不同的两点，求的长。【答案】（1）（2）【解析】（1）因为双曲线的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，所以，即（2）经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线与双曲线联立方程组消y得，由弦长公式解得练习3.已知椭圆的方程为，双曲线的一条渐近线与轴所成的夹角为，且双曲线的焦距为.(1)求椭圆的方程；(2)设分别为椭圆的左，右焦点，过作直线(与轴不重合)交椭圆于，两点，线段的中点为，记直线的斜率为，求的取值范

8、围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)一条渐近线与轴所成的夹角为知，即，又，所以，解得，，所以椭圆的方程为.(2)由(1)知，设，，设直线的方程为.联立得，由得，∴，又，所以直线的斜率.①当时，；②当时，，即.综合①②可知，直线的斜率的取值范围是.练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知