精校解析Word版---高考专题28 快速解决直线与圆锥曲线综合问题解题技巧-高考数学（理）命题热点

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1、高考专题28快速解决直线与圆锥曲线综合问题解题技巧一．【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义；2．掌握焦点三角形的应用和几何意义；3.掌握圆锥曲线方程的求法；4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。一．【知识点总结】1.椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．2．椭圆的标准方程(1)，焦点，其中．(2)，焦点，其中3．椭圆的几何性质以为例(1)范围：．(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：(3)顶点：长轴端点：，短轴端点：；长轴长，短轴长，焦距

2、.(4)离心率越大，椭圆越扁，越小，椭圆越圆．(5)的关系：.4．双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．5．双曲线的标准方程(1)，焦点，其中．(2)，焦点，其中6．双曲线的几何性质以为例(1)范围：．(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：(3)顶点：实轴端点：，虚轴端点：；实轴长，虚轴长，焦距.(4)离心率(5)渐近线方程.7．抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，直线叫抛物线的准线.8．抛物线的标

3、准方程(1)．对应的焦点分别为：.(2)离心率.三．【典例分析及训练】（一）圆锥曲线定义的灵活应用例1．已知抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线相交于点，，直线交抛物线于另一点，直线交抛物线于另一点，若，则__________．【答案】练习1．已知是抛物线的焦点，，是抛物线上两点，为坐标原点，若，则____．【答案】8【解析】，则，，,为公共点，则三点共线，由题可得，则,故答案为练习2.已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于__________.【答案】6【解析】结合题意，绘制图像：根据双曲线的性质可知，得到，所以，而，所以，所

4、以最小值为6.练习3．有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2＝90°，则的值为_______．故答案为：.（五）圆锥曲线的方程的灵活应用例5．已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点.下表给出坐标的五个点中，有两个点在上，另有两个点在上.则椭圆的方程为_____，的左焦点到的准线之间的距离为_______.【答案】【解析】注意到在椭圆上，故，根据椭圆的范围可知，横坐标为的点不在椭圆上.设抛物线方程为，在抛物线上，即，即，且在抛物线的图像上，抛物线准线为.设椭圆的方程为，将代入，求得，不

5、符合题意.将点代入，求得，符合题意，故椭圆方程为.故左焦点为.所以抛物线的准线和椭圆左焦点的距离为.练习1．给出下列命题，其中所有正确命题的序号是__________．①抛物线的准线方程为；②过点作与抛物线只有一个公共点的直线仅有1条；③是抛物线上一动点，以为圆心作与抛物线准线相切的圆，则此圆一定过定点.④抛物线上到直线距离最短的点的坐标为.【答案】③④【解析】①抛物线的标准方程为不是；故错误②过点作与抛物线只有一个公共点的直线有两条，一条是过点与抛物线相切的直线，一条是过点平行于轴的直线，故错误③设,则以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆的方程为,化简可得,当

6、时恒成立，故此圆一定过定点，故正确④设抛物线上到直线距离最短的点的坐标为则当时，取最小值则抛物线上到直线距离最短的点的坐标为，故正确综上其中所有正确命题的序号为③④练习2．在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点．若为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是_____【答案】【解析】∵点F1、F2分别是椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（c，），B（c，），∵△是锐角三角形，∴∠AF1F2＜45°，∴tan∠AF1F2＜1，∴1，整理，得b

7、2＜2ac，∴a2﹣c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，解得e1，或e1，（舍），∴0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是（1，1）．故答案为：（1，1）．（六）定点问题例6.已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为2时，坐标原点O到l的距离为．求a、b的值；上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的点P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1），；（2）见解析【解析】设，直线l的方程为，坐标原点O到l的距离为，，，，，，即；由知椭圆的方程为，即，假设存在满足

8、题设条件的直线，由题意知直线的斜率不为