2019-2020年高中数学 第一章 三角函数章末优化总结 新人教A版必修4

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1、2019-2020年高中数学第一章三角函数章末优化总结新人教A版必修4　　　　　　　三角函数的值域与最值求三角函数的值域与最值的三种途径(1)利用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的值域求解．(2)将所求三角函数式变形为关于sinx(或cosx)的二次函数的形式，利用换元的思想进行转化，然后再结合二次函数的性质求解．(3)利用正弦函数、余弦函数的有界性求解，同时，一般函数求值域的方法(分离常数法、判别式法、图像法等)在三角函数中也适用．求y＝的值域．[解]　将已知函数式看成单位圆上的点A(cosx，s

2、inx)与点B(2，2)连线的斜率，如图所示，观察得到kAB≤y≤kCB.设过点B的圆的切线方程为y－2＝k(x－2)．即kx－y－2k＋2＝0.于是＝1，解得k＝.故函数的值域为.已知

3、x

4、≤，求函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值．[解]　y＝f(x)＝cos2x＋sinx＝－sin2x＋sinx＋1.令t＝sinx，因为

5、x

6、≤，所以－≤sinx≤.则y＝－t2＋t＋1＝－＋，当t＝－，即x＝－时，f(x)有最小值，且最小值为－＋＝.　　　　　　　三角函数的性质1．三角函数的周期在不加说

7、明的情况下，就是指最小正周期．求三角函数的周期一般要先通过三角恒等变形将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k，y＝Acos(ωx＋φ)＋k及y＝Atan(ωx＋φ)＋k的形式，然后用公式求解，另外还可以利用图像求出三角函数的周期．2．研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性时，应先考虑其定义域，若其定义域关于原点对称，则当φ＝kπ(k∈Z)时，函数为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数为偶函数；当φ≠(k∈Z)时，函数为非奇非偶函数．3．求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)

8、(其中A≠0，ω＞0)的单调区间时(若ω＜0，可先利用诱导公式将x前的系数ω变成正值)，应把ωx＋φ视为一个整体，由A的符号来确定单调性．函数f(x)＝3sin的图像为C.(1)图像C关于直线x＝对称；(2)函数f(x)在区间内是增加的；(3)由y＝3sin2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C.以上三个论断中，正确的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3[解析]　(1)f＝3sin＝3sin＝－3，所以直线x＝为图像C的对称轴，故(1)正确；(2)由－＜x＜，得－＜2x－＜，所以函数f(x)在

9、内是增加的，故(2)正确；(3)f(x)＝3sin2，而由y＝3sin2x的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin2的图像，得不到图像C，故(3)错误．[答案]　C　　　　　　　三角函数的图像及图像变换三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求如下：(1)用五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π.(

10、2)对于y＝Asin(ωx＋φ)＋b应明确A，ω，φ与单调性的关系，针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．(3)由已知函数图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图像求得的y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式一般不是唯一的，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解，否则φ的值不确定，

11、解析式也就不唯一．已知函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像上的一个最低点为M，周期为π.(1)求f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图像沿x轴向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图像，写出函数y＝g(x)的解析式；(3)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．[解]　(1)因为T＝＝π，所以ω＝2.又因为f(x)min＝－2，所以A＝2.因为f(x)的最低点为M，所以sin＝－1.因为0＜φ＜，所以＜＋φ＜，所以

12、＋φ＝，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.(2)y＝2siny＝2sin＝2siny＝2sin＝2sinx，所以y＝g(x)＝2sinx.(3)因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，所以当2x＋＝，即x＝0时，f(x)min＝2sin＝1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2sin＝.1．已知sin(π＋θ)＜0，cos(π－θ)＜0，则角θ所在的象限是(　　)A．第一象限　　　　　　　B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A.因为sin(π＋θ)＝－sinθ＜0，