2020高考数学一轮复习 课时作业31 等比数列及其前n项和 理

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1、课时作业31 等比数列及其前n项和[基础达标]一、选择题1.[2019·益阳市,湘潭市高三调研]已知等比数列{an}中,a5=3,a4a7=45,则的值为(  )A.3B.5C.9D.25解析:设等比数列{an}的公比为q,则a4a7=·a5q2=9q=45,所以q=5,==q2=25.故选D.答案:D2.[2019·湖北华师一附中联考]在等比数列{an}中,a2a3a4=8,a7=8,则a1=(  )A.1B.±1C.2D.±2解析:因为数列{an}是等比数列,所以a2a3a4=a=8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8,所以q

2、2=2,a1==1,故选A.答案:A3.[2019·山东淄博模拟]已知{an}是等比数列,若a1=1,a6=8a3,数列的前n项和为Tn,则T5=(  )A.B.31C.D.7解析:设等比数列{an}的公比为q,∵a1=1,a6=8a3,∴q3=8,解得q=2.∴an=2n-1.∴=n-1.∴数列是首项为1,公比为的等比数列.则T5==.故选A.答案:A4.[2019·福建厦门模拟]设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n+1+λ,则λ=(  )A.-2B.-1C.1D.2解析:解法一 当n=1时,a1=S1=4+λ.当n≥2时,a

3、n=Sn-Sn-1=(2n+1+λ)-(2n+λ)=2n,此时==2.因为{an}是等比数列,所以=2,即=2,解得λ=-2.故选A.解法二 依题意,a1=S1=4+λ,a2=S2-S1=4,a3=S3-S2=8,因为{an}是等比数列,所以a=a1·a3,所以8(4+λ)=42,解得λ=-2.故选A.解法三 Sn=2n+1+λ=2×2n+λ,易知q≠1,因为{an}是等比数列,所以Sn=-qn,据此可得λ=-2.故选A.答案:A5.[2019·湖南湘潭模拟]已知等比数列{an}的前n项积为Tn,若a1=-24,a4=-,则当Tn取最大值时

4、,n的值为(  )A.2B.3C.4D.6解析:等比数列{an}的前n项积为Tn,由a1=-24,a4=-,可得q3==,解得q=,∴Tn=a1a2a3…an=(-24)n·q1+2+…+(n-1)=(-24)n·,当Tn取最大值时,可得n为偶数,当n=2时,T2=242·=192;当n=4时,T4=244·6=;当n=6时,T6=246·15=,则T66,且n为偶数时,Tn

5、成等差数列,a2+a5=4,则a8=________.解析:因为S3,S9,S6成等差数列,所以公比q≠1,=+,整理得2q6=1+q3,所以q3=-,故a2·=4,解得a2=8,故a8=8×=2.答案:27.[2019·广州市高三调研]在各项都为正数的等比数列{an}中,若a2018=,则+的最小值为________.解析:设公比为q(q>0),因为a2018=,所以a2017==,a2019=a2018q=q,则有+=q+=q+≥2=4,当且仅当q2=2,即q=时取等号,故所求最小值为4.答案:48.[2019·石家庄检测]设公差不为0

6、的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2,a5,a11成等比数列,且a11=2(Sm-Sn)(m>n>0,m,n∈N*),则m+n的值是________.解析:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),因为a2,a5,a11成等比数列,所以a=a2a11,所以(a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d),解得a1=2d,又a11=2(Sm-Sn)(m>n>0,m,n∈N*),所以2ma1+m(m-1)·d-2na1-n(n-1)d=a1+10d,化简得(m+n+3)·(m-n)=12,因为m>n>0,m,n∈N*,所以或解得或(舍去),所

7、以m+n=9.答案:9三、解答题9.[2017·全国卷Ⅱ]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.解析:设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.①(1)由a3+b3=5得2d+q2=6.②联立①和②解得(舍去),因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.解得q=-5或q=4.当

8、q=-5时,由①得d=8,则S3=21.当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.10.[2018·全国卷Ⅲ]等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公

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