全国通用版2019版高考数学一轮复习第十七单元随机变量及其分布双基过关检测理

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1、“随机变量及其分布”双基过关检测一、选择题1．设随机变量ξ～N(2,1)，若P(ξ>3)＝m，则P(1<ξ<3)等于(　　)A.－2m　　　　　　　B．1－mC．1－2mD.－m解析：选C　因为随机变量ξ～N(2,1)，所以随机变量ξ服从正态分布，且正态曲线的对称轴为x＝2，因为P(ξ>3)＝m，所以P(ξ<1)＝m，因此P(1<ξ<3)＝1－2P(ξ>3)＝1－2m.2．已知离散型随机变量X的概率分布列为X0123Pa则随机变量X的数学期望为(　　)A.B.C.D.解析：选C　∵a＝1－＝，∴E(X)＝0×＋1×

2、＋2×＋3×＝.3．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P的值为(　　)A.B.C.D.解析：选D　由题可得，c1－＋－＋－＋－＝c×＝1，解得c＝.所以P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝×＝.4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他在第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为(　　)A.B.C.D.解析：选D　设事件A为“第一次取到的是螺口灯泡”，事件B为“第二次取到的是卡口灯泡”，则P(A)

3、＝，P(AB)＝×＝，故所求概率为P(B

4、A)＝＝＝.5．(2018·邢台摸底)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为(　　)A.B.C.D.解析：选C　由题意知取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝.6．下列各组的两个事件相互独立的是(　　)①运动员甲射击一次，“射中10环”与“射中8环”；②甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中8环”；③盒子中放有5个红球、5个白球，从盒子中陆续取出

5、两个球，事件A为“第一次取出白球”，取出的球放回盒中，事件B为“第二次取出的是白球”；④盒子中放有5个红球、5个白球，从盒子中陆续取出两个球，事件A为“第一次取出白球”，取出的球不放回盒中，事件B为“第二次取出的是白球”．A．①②B．②③C．①④D．③④解析：选B　①甲射击一次，“射中10环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，是互斥事件；②甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中8环”的概率没有影响，故二者是相互独立事件；③在有放回的取球中，事件A与B是否发生相互之间没有任何影响，故二者是

6、相互独立事件；④在不放回的取球中，事件A发生后，事件B的概率发生了改变，故二者不是相互独立事件．二、填空题7．随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为m，已知向量＝(m,1)，＝(2－m，－4)，设X＝·，则X的数学期望E(X)＝________.解析：∵＝＋＝(2，－3)，∴X＝·＝2m－3，而m＝1,2,3,4,5,6.列出X的分布列(如表所示)，X－113579P∴E(X)＝(－1＋1＋3＋5＋7＋9)＝4.答案：48．已知随机变量ξ的分布列为：ξ－1012Pxy若E(ξ)＝，则x＋y＝________，D(

7、ξ)＝________.解析：由题意，得x＋y＝.又E(ξ)＝－x＋＋2y＝，解得x＝，y＝，所以D(ξ)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.答案：　9．设随机变量η服从正态分布N(1，σ2)，若P(η<－1)＝0.2，则函数f(x)＝x3＋x2＋η2x没有极值点的概率是______．解析：f′(x)＝x2＋2x＋η2，因为函数f(x)＝x3＋x2＋η2x没有极值点，所以f′(x)＝x2＋2x＋η2≥0恒成立，所以Δ＝4－4η2≤0，则η≤－1或η≥1，因为P(η≤－1)＝0.2，且随机变量η服从正态分布N(1，σ2)，所

8、以P(η≤－1或η≥1)＝P(η≤－1)＋P(η≥1)＝0.2＋0.5＝0.7.答案：0.7三、解答题10．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p；(2)求电流能在M与N之间通过的概率．解：记Ai表示事件“电流能通过Ti”，i＝1,2,3,4，A表示事件“T1，T2，T3中至少有一个能通过电流”，B表示事件“电流能在M与

9、N之间通过”．(1)＝，A1，A2，A3相互独立，P()＝P()＝P()P()P()＝(1－p)3，又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，故(1－p)3＝0.001，解得p＝0.9.(2)B＝A4∪(A1A3)∪(A2A3)，P(B)＝P(A4)＋P(A1A3)＋P(A2A3)＝P(A4)＋P()P(A1)P(A3)＋P()P()P(A2)P(