课标通用高考数学一轮复习第五章5.4平面向量应用举例学案理

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1、§5.4 平面向量应用举例考纲展示► 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.考点1 向量在平面几何中的应用                向量在几何中的应用a=(x1,y1),b=(x2,y2),A(x1,y1),B(x2,y2).(1)证明线线平行或点共线问题,常用共线向量定理:a∥b⇔a=λb⇔____________(b≠0).(2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质:a⊥b⇔a·b=0⇔____________.(3)平面几何中夹角与线段长度计算:①cosa,b==____________

2、____;②

3、AB

4、=

5、

6、==____________.答案:(1)x1y2-x2y1=0 (2)x1x2+y1y2=0(3)① ②[典题1] 已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(  )A.内心B.外心C.重心D.垂心[答案] C[解析] 由=+λ(+),得-=λ(+),即=λ(+-18-).根据平行四边形法则知,+是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.[题点发散1] 在本例中,若动点P满足=+λ,λ∈(0,+

7、∞),则如何选择?答案:A解析:由条件,得-=λ,即=λ·.而和分别表示平行于,的单位向量,故+平分∠BAC,即平分∠BAC,所以点P的轨迹必过△ABC的内心.[题点发散2] 在本例中,若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则如何选择?答案:D解析:由条件,得=λ,从而·=λ-18-=λ·+λ·=0,∴⊥,则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.[点石成金] 向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法:把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.(2)基向量法:适当选取一组基底,利用向量间

8、的关系构造关于未知量的方程进行求解.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF.若·=1,则λ的值为________.答案:2解析:解法一:如图,=+=+,=+=+=+,∴·=·=·+2+2=×2×2×cos120°++=1,-18-解得λ=2.解法二:建立如图所示平面直角坐标系.由题意知,A(0,1),C(0,-1),B(-,0),D(,0).由BC=3BE,DC=λDF可求,点E,F的坐标分别为E,F,∴·=·=-2+=1,解得λ=2.考点2 平面向量在三角函数中的应用[典题2] 在△ABC中,

9、角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知向量m=,n=,且2m·n+

10、m

11、=,·=1.(1)求角A的大小;(2)求△ABC的面积S.[解] (1)因为2m·n=2sincos-2cos2=sinA-(cosA+1)=sin-1,又

12、m

13、=1,所以2m·n+

14、m

15、=sin=,即sin=.因为0<A<π,所以-<A-<,-18-所以A-=,即A=.(2)cosA=cos=cos=coscos-sinsin=,因为·=bccosA=1,所以bc=+.又sinA=sin=sin=,所以△ABC的面积S=bcsinA=(+)×=.[点石成金] 1.解决平面向量与三角函

16、数的交汇问题,关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件,将其转化为三角函数中的有关问题解决.2.熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量的模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正余弦定理等知识.1.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(,-1),n=(cosA,sinA).若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小分别为(  )A.,B.,C.,D.,答案:C解析:由m⊥n,得m·n=0,即cosA-sinA=0,即2cos=0.∵

17、cosB+2RsinBcosA=2Rsin(A+B)=2RsinC=c,且acosB+bcosA=csinC,即c=csinC,∴sinC=1,又C∈(0,π),∴C=,∴B=π--=.2.△ABC的三个内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sinC),n=(a+c,sinB-sinA),若m∥n,则角B的大小为________.答案:解析:∵m∥n,∴(a+b)(sinB-sinA)-(a+c)sinC=0,又∵==,化简,得a2+c2-b2=-ac,∴cosB==-.∵0

18、知平面上一定点C(2,0)和直线l:x

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