第4章 稳定性与李亚普诺夫方法.pdf

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1、第四章稳定性与李亚普诺夫方法稳定性是控制系统最重要的特性。早在17世纪托里斯利（Torricelli）就对系统运动的稳定性概念进行过描述。之后,拉普拉斯、拉格朗日、麦克斯威尔等都提出过稳定性的概念。但都没有给出过严格的数学定义和证明。李亚普诺夫奠定了稳定性理论的基础。直到1892年，俄国数学力学家李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性的一般问题”才给出了运动稳定性的严格的精确的数学定义和一般方法，从而奠定了稳定性理论的基础。第四章稳定性与李亚普诺夫方法李亚普诺夫稳定性理论是研究系统稳定性的普遍方法。经典控制理论中的劳斯－赫尔维茨判据、奈奎斯特判据只

2、适用于研究线性定常系统，李亚普诺夫稳定性理论对于线性和非线性系统都适用。系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。§4－1李亚普诺夫关于稳定性的定义一.系统的平衡状态对于一个不受外部作用的系统xf(x,t)，x(t0)x0，tt0如果存在某个状态xe，使xef(xe,t)0tt0成立，则称x为系统的一个平衡状态。e对于线性系统：xAxAxe0当A非奇异，系统只有唯一的一个平衡状态，xe0。当A奇异，则存在无穷多个平衡状态。§4－1李亚普诺夫关于稳定性的定义对于非线性系统通常存在多个平衡状态。例如：对于非线性系统x1

3、x1xxxx32122x10其平衡状态为：的解。xxx30122000即为：xe1,xe2,xe3011§4－1李亚普诺夫关于稳定性的定义x2xe2xex11xe3孤立的平衡状态：如果平衡状态是彼此孤立的，即在某一平衡状态的任意小的邻域内不存在其它平衡状态，则称该平衡状态为孤立的平衡状态。§4－1李亚普诺夫关于稳定性的定义二.稳定性的几个定义1.李亚普诺夫意义下的稳定若一不受外力作用的系统（自治系统）xf(x,t)，x(t0)x0，tt0对任意选定的实数0，都存

4、在另一实数(,t0)0，使得由满足不等式x0xe(,t0)的任一初始状态出发的受扰运动都满足不等式(t;x0,t0)xe，tt0则称平衡状态xe为李亚普诺夫意义下的稳定状态。若与t0无关，则称这种平衡状态是一致稳定的§4－1李亚普诺夫关于稳定性的定义(,t0)xe图1李亚普诺夫意义下的稳定§4－1李亚普诺夫关于稳定性的定义2.渐近稳定若平衡状态xe是李亚普诺夫意义下的稳定状态，且满足lim(t;x0,t0)xe0t则称平衡状态xe为渐近稳定。§4－1李亚普诺夫关于稳定性的定义(,t0)xe图2渐进稳定§4

5、－1李亚普诺夫关于稳定性的定义3．大范围渐近稳定若平衡状态xe是李亚普诺夫意义下的稳定状态，且对任一系统的初始状态均满足lim(t;x0,t0)xe0t则称平衡状态xe为大范围渐近稳定。t0xe§4－1李亚普诺夫关于稳定性的定义4．不稳定对于一个不受外力作用的系统xf(x,t)，x(t0)x0，tt0若对于不管取多么大的有限实数0，都不可能找到相应的实数(，,t0)0，使得由满足不等式x0xe(,t0)的任一初始状态出发的受扰运动都不满足不等式(t;x0,t0)xe，tt0则称平衡状态x为李亚普诺夫意义下的

6、不稳定状态。e§4－1李亚普诺夫关于稳定性的定义(,t0)xe不稳定§4－2李亚普诺夫第一法李亚普诺夫第一法的基本思想是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性，因此这种方法又称为间接方法。1.外部稳定（输出稳定）给定系统一个有界输入（扰动），判断系统的输出是否有界，若系统的输出是有界的，则称系统在该输入（扰动）下是稳定的。2.内部稳定（状态稳定）只需求出系统矩阵A的所有特征值（对于非线性系统，在平衡状态附近一次线性化），若系统所有特征值均有负实部，则系统是稳定，否则系统是不稳定的。§4－3李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法基本思想:李亚普诺夫第二

7、法是基于这样一个基本的物理事实：如果一个系统经受一个扰动，当扰动消失后，系统储存的能量将随着时间的推移而逐渐衰减，直至趋于平衡状态，系统的能量趋于极小值，那么这个平衡状态就是渐近稳定的；若当扰动消失后，系统的能量不再增加，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义下的稳定；若当扰动消失后，系统不断从外界吸收能量，系统的储能随着时间的推移不断增加，那么这个平衡状态就是不稳定的。xe1xe0§4－3李亚普诺夫第二法一.预备知识1.标量函数V(X)符号性质的几个定义(1).如果对于在域Q中的所有非零向量X,有V(X)>0,且在X=0有V(X)=0,则在域Q内称标量函

8、数V(X)为正定。例如：22V(X)x12x2(2).如果标量函数V(X)除了在原点及某些