第3章控制系统的李亚普诺夫稳定性.ppt

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1、现代控制理论ModernControlTheory第三章控制系统的李亚普诺夫稳定性§3.1李亚普诺夫第二法概述§3.2李亚普诺夫意义下的稳定性§3.3李亚普诺夫稳定性定理§3.4线性系统的李亚普诺夫稳定性分析§3.1李亚普诺夫第二法的概述一、物理基础一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳定的系统，即当系统受到外界干扰后，显然它的平衡状态被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡状态下继续工作，系统的这种性能，通常叫做稳定性，它是系统的一个动态属性。举例说明：1.电压自动调节系统--保持电机电压恒定2.电机自动调速系统--保持电机转速一

2、定3.火箭飞行系统--保持航向为一定具有稳定性的系统称为稳定系统。不具有稳定性的系统称为不稳定系统。稳定性概念系统的稳定性--系统在受到外界干扰后，系统偏差量（被调量偏离平衡位置的数值）过渡过程的收敛性，用数学方法表示就是：现代控制理论的优点线性定常系统稳定性判断—1.劳斯-赫尔维茨判剧2.奈奎斯特稳定判剧现代控制系统—结构复杂，非线性或时变,上述稳定判剧难以胜任;通用的方法是李亚普诺夫第二法.李亚普诺夫稳定性判据1982年，李亚普诺夫归纳出两种方法李亚普诺夫第一法:解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。如果特征方程的根全部具有负实部

3、，则系统在工作点附近是稳定的.李亚普诺夫第二法（也称直接法）:不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进行分析判断，而且给出的稳定信息不是近似的。它提供了判别所有系统稳定性的方法。李亚普诺夫第二法建立的物理事实：如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即:那么随着系统的运动，其贮存的能量将随着时间的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。对系统而言，并没有这样的直观性，因此，李亚普诺夫引入了“广义能量函数”，称之为李亚普诺夫函数，表示为,它是状态和时间t的函数。如果动态系统是稳定的，则仅当存在依赖于状态变量的李亚普诺夫函数对任意（平衡点）

4、时，成立，且对时，才有。李亚普诺夫第二法可归结为:1.在不直接求解的前提下，2.通过李亚普诺夫函数的符号3.及其对时间的一次导数的符号就可给出系统平衡状态稳定性的信息。应用李亚普诺夫稳定理论的关键:能否找到一个合适的李亚普诺夫函数!--尚未有一个简便的、一般性的方法！*由于系统的结构日益复杂，对李亚普诺夫稳定理论的研究和应用受到人们的重视；*特别是在从典型的数学函数及非线性特性出发寻求李亚普诺夫函数方面颁有进展。*李亚普诺夫函数是对前述的不具有直观性的物理事实的表现，这个“广义能量”概念与能量概念又不完全相同。李亚普诺夫函数的选取不是唯一的！很多情况

5、下李亚普诺夫函数可取为二次型二次型及其定号性，是该理论的数学基础。二、数学基础(二次型及其定号性)1．二次型n个变量的二次齐次多项式:称为二次型。式中，是二次型的系数。设，既对称且均为实数。用矩阵表示二次型较为方便，即必须指出，二次型是一个标量，最基本的特性就是它的定号性，也就是V(X)在坐标原点附近的特性。定号性(1)正定性当且仅当X=0时，才有V(X)=0；对任意非零X，恒有V(X)＞0，则V(X)为正定。(2)负定性当且仅当X＝0时．才有V(X)＝0；对任意非零X，恒有V(X)＜0，则V(X)为负定。(3)正半定性与负半定性如果对任意X≠0，恒

6、有V(X)≥0，则V(X)为正半定。如果对任意X≠0，恒有V(X)≤0，则V(X)为负半定。(4)不定性如果无论取多么小的零点的某个邻域,V(X)可为正值也可为负值．则V(X)为不定。赛尔维斯特准则①二次型或对称矩阵P为正定的充要条件是P的主子行列式均为正，即如果则P为正定，即V(X)正定。②二次型或对称阵P为负定的充要条件是：P的主子行列式满足(为奇数)；(为偶数)=1,2,…,。返回§3.2李亚普诺夫意义下的稳定性研究系统的稳定性问题，实质上是研究系统平衡状态的情况。一般说来，系统可描述为式中X为n维状态向量。当在任意时间都能满足(3.1)时，称

7、为系统的平衡状态。凡满足式(3.1)的一切X值均是系统的平衡点，对于线性定常系统，A为非奇异时,X=0是其唯一的平衡状态，如果A是奇异的．则式(3.1)有无穷多解，系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。由式(3.1)可知，在系统的平衡点，状态变量的变化率为0，由古典控制理论知道，该点即为奇点，因此，系统微分方程式的奇点代表的就是系统在运动过程中的平衡点。任何彼此孤立的平衡点，均可以通过坐标的变换，将其移到坐标原点，这就是经常以坐标原点作为平衡状态来研究的原因，因此常用的连续系统的平衡状态表达式为对同一问题用不同理论去研究．会得

8、到不同含义的结果与解释。如非线性系统中的自由振荡，古典的稳定性理论认为是不稳定的，而李亚普诺夫稳定性理论则认