卷积和和卷积积分.ppt

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1、第二章线性时不变系统（LTI：LinearTimeInvarient)重点：理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质；掌握LTI系统的性质；难点：深刻理解卷积积分与卷积和的概念；2.1线性时不变连续系统的时域解法连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分方程来描述系统。微分方程其有无数个解；若已知初始条件：其解唯一。微分方程的经典解。齐次解是满足的解若n个特征值各不相同：若特征值中有λ1是r重根，而其余的根都为单数，则ci、cj的值由初始条件确定。齐次解特解特解的函数形式与激励函数形式有关。微分方程的特解形式：

2、输入信号x(t)特解yp(t)常数C常数AtA0+A1ttpA0+A1t+A2t2+……APtp系统的零输入响应与零状态响应一个线性系统可以将系统的响应分解为零输入响应和零状态响应。即：零输入响应零状态响应而：例：已知一系统的微分方程为：求分别输入时的输出y(t)。解：2.2单位冲激响应单位冲激响应：线性时不变系统在单位冲激信号的激励下产生的零状态响应。用h(t)表示。即：分析如下电路：已知：uc(0-)=0，求uc(t)。解：建立系统的微分方程：由于冲激函数是在t=0时给系统注入了一定的能量，而在t>0时，系

3、统的激励为0。相当于在0－到0＋时刻，使系统具有了一定的初始能量。因此，系统的冲激响应与系统的零输入响应具有相同的形式。这里，用h(t)表示系统的冲激响应。即：注意：单位冲击响应为系统的零状态响应。2.3卷积积分对于线性系统，可以将输入信号分解为许多简单信号之和。如果求得简单信号作用于系统的响应，那么，所有这些响应叠加起来就是该输入作用于系统的响应。一个任意的输入信号可以分解为：指数函数、冲激函数、阶跃函数等等。这里讨论将信号分解为冲激函数之和的情况。矩形信号：分为一系列宽度相等的窄矩形脉冲之和若：设x(t)为

4、无时限的信号，将它分解为一系列宽度为的窄脉冲之和。当则：设系统的单位冲激响应为h(t),则系统对应于的冲激响应为则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和：当：求和符号改为积分符号上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算，用y(t)=x(t)*h(t)表示。即卷积积分的图解法卷积的图解法有助于我们理解卷积的物理意义以及求解步骤，以x(t)*h(t)为例：1、将h(τ）反折，得h(-τ）2、将h(-τ）沿τ轴时延t秒，得得h(t－τ）3、将x(τ）与h(t－τ）相乘，得x(τ）h(t－τ）4、沿τ轴对x

5、(τ）h(t－τ）积分例：设x(t)与h(t)如图所示，求y(t)=x(t)*h(t)反折：时移（1）（2）（3）（4）(5)y(t)的时域波形如图所示：例：求解：例：已知求：求：例：已知2.卷积积分运算的性质（1）满足交换律：（2）满足分配律：（3）卷积的结合律：（4）卷积的微分：两个函数卷积后的导数等于其中一函数导数与另一函数之卷积。即：（5）卷积的积分：应用类似的推演可以到处卷积的高阶导数或多重积分之运算规律：设，则有：此处，当i、j取正整数时为导数的阶次，取负整数时为重积分的次数。一个简单的例子为：4.

6、与冲激函数或阶跃函数的卷积（1）函数x(t)与单位冲激函数δ(t)卷积的结果仍然是x(t)本身。即：证明：证明：例解：将h(t)写成与阶跃函数乘积的形式：例：已知求：2.4卷积和在连续时间系统中，可以利用卷积积分的方法求系统的零状态响应。这时，首先把激励信号分解成冲激函数，把这些冲激响应的叠加即可得到系统对此激励信号的零状态响应。这个过程称为卷积积分。在离散系统中，由于离散信号本身就是不连续的序列，对应每个样值序列，每一响应也是一个离散时间序列，把这些序列叠加即得离散系统的零状态响应。对于任意的激励信号x[n]

7、可以表示成单位冲激序列的加权和，即：2卷积和的性质：与连续函数的卷积积分的性质类似，离散函数的卷积和也满足交换律，结合律以及分配律。以及满足：下面分析卷积和的几种运算方法：从卷积和的表达式：可知，卷积和也要经过以下四个步骤：图解法：以一个例子说明这个方法。已知：（3）相乘、求和：卷积和的波形如下：2.解析式法：对于能够写成比较简洁的表达式的离散函数，可以通过定义求出卷积和。对于这种不是很明显就看成卷积和的上下限的函数，一般也要通过图解法作为辅助的手段。（3）多项式相乘法对于序列长度不是很长的序列，可以通过利用多

8、项式乘法求解。下面举一例子说明这种方法。为书写方便，写成如下形式：将两序列的左端或右端对齐，然后相乘。这里采用左端对其的方式。要注意的是不能进位，最后把同一列上的乘积值按对位求和即可得到y[n]。上面的这个表达式还不完整，还没有确定y[n]的定义域。一般的，对于一个定义为[n1,n2]的序列x[n]以及[n3,n4]的序列h[n],h[n-k]的定义域为[n-n4,n-n3]，即上面这