矩阵论 线性空间一(1-3).ppt

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1、第一章第一节线性空间主要内容：线性空间的定义及其性质向量组的线性相关性线性空间的基与向量在基下的坐标坐标变换与过渡矩阵子空间与生成子空间子空间的运算子空间的直和概述线性空间是n维向量空间Rn的推广,是矩阵理论的基础。线性空间是一类具有“线性结构”的元素集合，这种线性结构是通过两种线性运算“加法”、“数乘”在一定公理体系下给出的。数学空间是指一个赋予了“某种结构”的集合。定义设V是一个非空集合，F是一个数域（如实数域R或复数域C），如果在V上规定了下列两种运算，则称V是数域F上的一个线性空间[1]加法运算对V的任意两个元素x、y，都有V的

2、唯一的“和”，且满足（1）交换律x+y=y+x;（2）结合律x+(y+z)=(x+y)+z;（3）存在0元x+0=x;（4）存在负元-xx+(-x)=0.[2]数乘运算对V的任一元x，及F的任一数k，都存在唯一的“积”，且满足（5）分配律k(x+y)=kx+ky（6）分配律(k+l)x=kx+lx（7）结合律k(lx)=(kl)x（8）1x=x线性空间的元素也称为向量，它比n维向量有更广泛的含义。注意：上述定义所规定的加法运算与数乘运算也称为V的线性运算，满足“封闭性”，即对V的任意两个元素及F的任一数k，所定义的“和”与“积”仍属于V

3、。当F是实数域时，V称为实线性空间；当F是复数域时，V称为复线性空间。n维实向量空间是线性空间，仍记作；n维复向量空间是线性空间，仍记作。可以验证：线性空间实例例1所有型矩阵在矩阵加法和数乘运算下构成一个线性空间，记为例4闭区间[a,b]上所有连续函数的集合在函数加法和数乘运算下构成一个线性空间,记为例3二阶齐次线性微分方程的解集合对于函数加法与数与函数的乘法构成一个线性空间。例2所有次数不超过n的多项式在多项式加法和数乘运算下构成一个线性空间,记为相容的线性非齐次方程组　　　解的全体按　中的运算不构成线性空间非线性空间举例所有n阶可逆

4、矩阵在矩阵加法和数乘运算下不构成线性空间（0矩阵不可逆）。所有次数等于n的多项式在多项式加法和数乘运算下不构成线性空间。实例5设R+为所有正实数组成的集合，其上的加法与乘法分别定义为试证R+是R上的线性空间。证明设（3）1是零元，因为（4）a的负元是1/a，因为即对所定义的加法“”与乘法“”是封闭的。且满足故R+是R上的线性空间。定理设V是数域F上的一个线性空间，则（1）V的零元是唯一的；（2）V中任意元的负元是唯一的；（3）（4）如果，则k=0或。线性表示则称x可由x1,x2,…,xp线性表示，称x是x1,x2,…,xp的线性组合。例

5、１　在二维空间R2中，任意一个二维向量都可由标准单位向量e1,e2线性表示。设V是一个线性空间，是V的向量组。如果存在一组数使得例2、在线性空间中，例3在三维空间R3中，求k1,k2,k3,使得求解注：讨论向量组的线性表示可化为讨论线性方程组的求解问题。如果向量组与可以相互表示，则称向量组与向量组是等价的。给定线性空间V的两个向量组与，如果中的每一个向量都可以由向量组线性表示，则称向量组可以由向量组线性表示；等价向量组具有：自反性、对称性、传递性设x1,x2,…,xp是线性空间V的向量组。如果存在一组不全为0的数k1,k2,…,kp使

6、得则称向量组x1,x2,…,xp是线性相关的；否则，就称向量组x1,x2,…,xp是线性无关的。线性相关命题一向量组x1,x2,…,xp是线性无关的充要条件是仅当k1=k2=…=kp=0时成立命题二向量组x1,x2,…,xp是线性相关的充要条件是其中的一个向量可由其余的向量线性表示。等价命题1、在线性空间中，其中表示第i行元素第j列元素1，其它元素为0的矩阵。线性无关。可以证明：2、在线性空间中，线性无关。例4在四维空间R4中，讨论下列向量组的线性相关性。解仅讨论（1）。设存在一组数，使得即改写成线性方程组为求解线性方程组得唯一解线性无

7、关并称r为向量组的秩，记为则称是向量组的极大无关组；(2)任一向量可由线性表示；（1）是线性无关组，说明：一般地，向量组的极大无关组不是唯一的，但向量组的每一个极大无关组都与向量组自身是等价的，并且向量组的每一个极大无关组中所含有的向量的个数都等于向量组的秩。定义设是线性空间V的向量组,如果设x1,x2,…,xn是线性空间V的向量组,如果（1）x1,x2,…,xn是V的线性无关组，（2）V的任一向量x可由x1,x2,…,xn线性表示；则称x1,x2,…,xn是线性空间V的一组基。称n是线性空间V的维数，记作dimV。或称线性空间V是n维

8、线性空间即：线性空间的维数是其基中所含向量的个数。一、线性空间的基与向量在基下的坐标若在V中可以找到任意多个线性无关的向量，则称V是无限维线性空间例1、证明：在三维向量空间R3中x1,x2,x3与y1,y2