16相似矩阵.ppt

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1、相似矩阵一.相似矩阵及其性质相似矩阵的定义设A和B皆是n阶方阵，若存在一个n阶可逆方阵P，使得P-1AP=B，则称矩阵B与A相似。从矩阵A到矩阵B=P-1AP的变换称为相似变换；称P为该相似变换的变换矩阵。2.相似关系自反性;对称性;传递性.等价关系3.相似矩阵的特征值、特征向量定理1.若A与B相似，则A和B具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值。定理2.若B=P-1AP,是A的关于特征值的一个特征向量,则=P-1是B的关于特征值的一个特征向量。例1.证明与尽管具有相同的特征值，但它们并不相似。证明：显然

2、A-

3、E

4、=

5、B-E

6、=(0-)3，从而A和B的特征值皆为0容易得到：皆是B的与0对应的特征向量.倘若A和B相似，即有某一可逆方阵P，满足依据定理2得：的与特征值0对应的特征向量.P-1AP=B.皆是A也就是说,矩阵A应该有3个线性无关的特征向量.证毕二.方阵在相似变换下的Jordan标准形1,Jordan块而这是不可能的．因为矩阵A-0E的秩为2，方程组(A-0E)X=0不可能有三个线性无关的解向量。2.Jordan矩阵定理3.设A是一个n阶方阵,则存在某一Jordan矩阵J,使得A与J相似.称该Jordan矩阵J

7、为方阵A在相似变换之下的Jordan标准形.三.确定方阵Jordan标准型的方法.定理4设A是一个n阶方阵，则A相似于一个对角阵的充分必要条件是：A有n个线性无关的特征向量。证明：A相似于一个对角阵的充分必要条件是:存在n阶可逆方阵P，使得P-1AP=,即AP=P记P=(p1,p2,…,pn)，其中p1,p2,…,pn是P矩阵的n个线性无关的列向量。(Ap1,Ap2,…,Apn)=(1p2,2p2,…,npn)从而有:也就是说：Apk=kpk,k=1,2,…,n.即p1,p2,…,pn皆是矩阵A的特征向量。证毕推

8、论：若n阶矩阵具有n个互异的特征值，则该矩阵相似于一个对角矩阵。试问:若方阵A相似于对角方阵1.A2是否也相似于对角方阵?相似于什么样的对角方阵?2.A3呢?3.若()=a0+a1+a22+…+amm是一个多项式,定义(A)=a0E+a1A+a2A2+…+amAm.(A)相似于特别当:,(A)相似于即:(A)=O定理5.设A是一个n阶方阵,()=

9、A-E

10、是A的特征多项式,则(A)=O凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton)定理例2.判断下列矩阵是否相似于一个对角矩阵，如相似，求出相似变换矩阵P

11、解：该矩阵有三个不同的特征值，所以相似于对角矩阵diag(1,2,3).解下列方程组,计算特征向量:即：从而令,得到：例3．矩阵是否相似于对角阵？如果相似，请求出相似变换矩阵P解：解方程组,求特征向量：该方阵只有两个线性无关的特征向量，所以它并不相似于对角矩阵。例4．证明矩阵的Jordan标标准型为：证明思路，证明的过程就是要寻找一个3阶可逆方阵P=(p1,p2,p3)，使得:即:（Ap1,Ap2,Ap3）=（2p1,p2,p2+p3)得知：Ap1=2p1，Ap2=p2，Ap3=p2+p3也就是说，p1是A的与特征值2对应的特

12、征向量，p2是与特征值1所对应的特征向量,而P3则是方程组(A–E)X=p2的解向量。取解方程组:得：,取显然：P-1AP=,其中例5．证明矩阵的Jordan标标准型为解：解方程组得到特征向量：所以该方阵并不与对角阵相似。剩下的问题就是要在这两个向量中,把其中的一个记作p1,另一个记作p2,然后解线性方程组(A–E)X=p2,得到p3,最终找一个可逆矩阵P(p1,p2,p3)，使P-1AP=J而却无解.若选取故只能选取:取其一个特解,令最终得到相似变换矩阵:解方程组