5-2 相似矩阵.ppt

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1、第二节相似矩阵1、向量内积的概念2、相似矩阵的概念与性质3、矩阵的对角化4、实对称矩阵的对角化1湘潭大学数学与计算科学学院王文强一、向量的内积定义2.1设有维向量与的内积定义为：1、向量的内积的定义及性质2湘潭大学数学与计算科学学院王文强（1）（2）（3）（4）当且仅当时等号成立.内积的性质：3湘潭大学数学与计算科学学院王文强定义2.2令称为维向量的长度（或范数）2、范数的定义及性质4湘潭大学数学与计算科学学院王文强长度具有下列性质：（1）非负性：等号成立当且仅当（2）齐次性：当时，称为单位向量.显然当时，是单位向量，称为把向量单位化.（3）三角不等式：5湘潭大学数学与计算科学学院王文强向

2、量的内积满足Cauchy-Schwarz不等式或定义2.3非零向量的夹角定义为当时，称向量与正交.6湘潭大学数学与计算科学学院王文强（1）正交的概念（2）正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．3、正交向量组的概念及求法当时，称向量与正交.注意：零向量与任何向量正交.7湘潭大学数学与计算科学学院王文强４、向量空间的正交基如果正交基中每个向量均是单位向量，则称为向量空间的正交规范基或标准正交基。8湘潭大学数学与计算科学学院王文强定理2.1正交向量组必定是线性无关组.证设是两两正交的非零向量，有使上式两端左乘得9湘潭大学数学与计算科学学院王文强因为故所以可得因

3、此线性无关.10湘潭大学数学与计算科学学院王文强例1已知三维向量空间中两个向量正交，试求使构成三维空间的一个正交基.11湘潭大学数学与计算科学学院王文强即解之得由上可知构成三维空间的一个正交基.则有解12湘潭大学数学与计算科学学院王文强若是向量空间V的一组正交规范基，那么V中任一向量应能由线性表出，即用左乘上式，有即13湘潭大学数学与计算科学学院王文强下面从线性无关向量组构造正交向量组的方法，得出从向量空间的一组基构造出正交规范基的方法.设线性无关，取14湘潭大学数学与计算科学学院王文强容易验证两两正交，且与等价.上述从线性无关组导出正交向量组的过程称为施密特（Schmidt）正交化过程.

4、再将单位化，就可得到一组与等价的正交单位向量组.15湘潭大学数学与计算科学学院王文强二、相似矩阵的概念与性质定义2.5设A，B都是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.则称A与B是相似的，称为对A作相似变换，16湘潭大学数学与计算科学学院王文强矩阵的相似关系是一种等价关系，即有（1）自反性（2）对称性（3）传递性17湘潭大学数学与计算科学学院王文强相似矩阵的性质:1、相似矩阵具有相同的秩及相同的行列式.证若A与B相似，则存在可逆矩阵P，使则A与B等价，所以秩相同，且2、相似矩阵若可逆，则逆矩阵也相似.18湘潭大学数学与计算科学学院王文强（3）若A与B相

5、似，则Ak与Bk相似，其中k为自然数。定理2.3相似矩阵有相同的特征多项式及相同的特征值.证明19湘潭大学数学与计算科学学院王文强注：（1）定理的逆命题并不成立，即特征多项式不一定相似.（2）若A与一个对角矩阵相似，则对角矩阵的对角线元素为A的特征值.即若阶方阵A与对角阵20湘潭大学数学与计算科学学院王文强证明三、利用相似变换将方阵对角化21湘潭大学数学与计算科学学院王文强22湘潭大学数学与计算科学学院王文强命题得证.23湘潭大学数学与计算科学学院王文强注：（1）方阵A如果能够对角化，则对角矩阵Λ在不计λk的排列顺序时Λ是唯一的，称为A的相似标准形。（2）相似变换矩阵P就是A的n个线性无关

6、的特征向量作为列向量排列而成的。24湘潭大学数学与计算科学学院王文强说明如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论1如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．推论2如果对于n阶级方阵A的任一k重特征值λ，有R（A－λE）=n－k，则A可对角化。25湘潭大学数学与计算科学学院王文强例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解26湘潭大学数学与计算科学学院王文强解之得基础解系27湘潭大学数学与计算科学学院王文强求得基础解系28湘潭大学数学与计算科学学院王文强解之得基础解系故不能化为对角矩阵.29湘潭大学数学与

7、计算科学学院王文强A能否对角化？若能对角例2解30湘潭大学数学与计算科学学院王文强解之得基础解系31湘潭大学数学与计算科学学院王文强所以可对角化.32湘潭大学数学与计算科学学院王文强注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．33湘潭大学数学与计算科学学院王文强定理2.5对称矩阵的特征值为实数.证明四、对称矩阵的性质说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．34湘潭大学数学与计算科学学院王文强于