线性空间与线性变换习题.ppt

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1、第六章习题课一、线性空间的定义定义:设V是一个非空集合,R为实数域.如果对于任意两个元素,V,总有唯一的一个元素V与之对应,称为与的和(简称加法运算),记作=+.若对于任一数R与任一元素V,总有唯一的元素V与之对应,称为数与的积(简称数乘运算),记作=.如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那么,就称V为数域R上的向量空间(或线性空间):设,,,OV,1,l,kR,(1)加法交换律:a+b=b+a;(2)加法结合律:(a+b)+g=a+(b+g);(3)零元素:存在OV,对任一向量a,有a+

2、O=a;(4)负元素:对任一元素aV,存在V,有a+=O,记=–a;(5)1a=a;(6)数乘结合律:k(la)=(lk)a;(7)数乘对加法的分配律:k(a+b)=ka+kb;(8)数量加法对数乘的分配律:(k+l)a=ka+la.二、线性空间的性质1.零元素是唯一的.2.负元素是唯一的.3.0=0;(–1)=–;0=0.4.如果=0,则=0或=0.三、线性空间的子空间定义2:设V是一个线性空间,L是V的一个非空子集,如果L对于V中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间,则称L为V的子空间.定理:线性空间V的非空子集

3、L构成子空间的充分必要条件是:L对于V中的线性运算封闭.四、线性空间的基与维数定义:在线性空间V中,如果存在n个元素1,2,···,nV,满足:(1)1,2,···,n线性无关;(2)V中任意元素总可以由1,2,···,n线性表示,则称1,2,···,n为线性空间V的一个基,称n为线性空间V的维数.当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向量时,就称V是无限维的.维数为n的线性空间V称为n维线性空间,记作Vn.若1,2,···,n为Vn的一个基,则Vn可表示为:Vn={=x11+x22+···+xnn

4、x1,

5、x2,···,xnR}五、元素在给定基下的坐标定义:设1,2,···,n为线性空间Vn的一个基,对任意V,总有且仅有一组有序数x1,x2,···,xn,使=x11+x22+···+xnn,则称有序数组x1,x2,···,xn为元素在基1,2,···,n下的坐标,并记作=(x1,x2,···,xn)T.线性空间V的任一元素在一个基下对应的坐标是唯一的,在不同的基下所对应的坐标一般不同.在向量用坐标表示后,它们的运算就归结为坐标的运算,因而对线性空间Vn的讨论就归结为线性空间Rn的讨论.定义:设U,V是两个线性空间,如果它们

6、的元素之间有一一对应关系,且这个对应关系保持线性组合的对应,那末就称线性空间U与V同构.结论1.同一数域P上的同维数线性空间都同构;结论2.同构的线性空间之间具有等价性.同构的意义:在对抽象线性空间的讨论中,无论构成线性空间的元素是什么,其中的运算是如何定义的,我们所关心的只是这些运算的代数(线性运算)性质.从这个意义上可以说,同构的线性空间是可以不加区别的,而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.六、基变换公式与过渡矩阵设1,2,···,n及1,2,···,n是n维线性空间Vn的两个基,且有称以上公式为基变换公式.在基变换公式中,矩

7、阵P称为由基1,2,···,n到基1,2,···,n的过渡矩阵,过渡矩阵P是可逆的.(1,2,···,n)=(1,2,···,n)P将上式用矩阵形式表示为:七、坐标变换公式定理1:设n维线性空间Vn中的元素,在基1,2,···,n下的坐标为:(x1,x2,···,xn)T,在基1,2,···,n下的坐标为:(x1,x2,···,xn)T,若两个基满足关系式:(1,2,···,n)=(1,2,···,n)P.则有坐标变换公式:或反之,若任一元素的两种坐标满足上述坐标变换公式,则两个基满足基变换公式

8、:(1,2,···,n)=(1,2,···,n)P.八、线性变换的概念定义:设有两个非空集合A,B,如果对于A中任一元素,按照一定规则,总有B中一个确定的元素和它对应,那么,这个对应规则称为从集合A到集合B的变换(或称映射),记作=T()或记作=T(A).设A,T()=,就说变换T把元素变为,称为在变换T下的象,称为在变换T下的源(或象源),称A为变换T的源集,象的全体所构成的集合称为象集,记作T(A),即变换概念是函数概念的推广.T(A)={=T()

9、A}.显然,T(A)B.定义:设Vn,U

10、m分别是实数域R上的n维和m维线性空间,T是一个从Vn到Um的变换,如果变换T满足:(1)任给1,2V