线性空间与线性变换

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1、第七章线性空间与线性变换本章主要讨论线性空间及线性变换的的一些基本概念与基本定理，在此基础上使大家能利用这些基本概念与定理解决相关问题。§7.1线性空间的定义与性质§7.2线性空间的基、维数与坐标§7.3基变换与坐标变换§7.4线性变换§7.5线性变换的矩阵表示第一节线性空间的定义与性质线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题

2、．一、线性空间的定义定义1.设V是一个非空集合，R为实数域．如果对于任意两个元素α,β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作：γ=α+β若对于任一数λ∈R与任一元素α，总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的积，记作δ=λα如果上述定义的两种运算满足以下八条运算规律，那么V就称为数域R上的向量空间（或线性空间）．说明:1.凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算．2.向量空间中的向量不一定是有序数组．3.判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不

3、封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间.线性空间的判定方法:(1)一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．(2)一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．二、线性空间的性质定义2:设V是一个线性空间,L是V的一个非空子集，如果L对于V中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称L为V的子空间.定理:线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是：L对于V中的线

4、性运算封闭．三、线性空间的子空间第二节线性空间的基、维数与坐标已知：在Rn中，线性无关的向量组最多由n个向量组成，而任意n+1个向量都是线性相关的。问题：线性空间的一个重要特征，在线性空间V中，最多能有多少线性无关的向量？一、线性空间的基与维数二、元素在给定基下的坐标三、线性空间的同构定义5.设U、V是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间U与V同构。结论：１．数域P上任意两个n维线性空间都同构。２．同构的线性空间之间具有反身性、对称性

5、与传递性。３．同维数的线性空间必同构。同构的意义在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质。从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数。第三节基变换与坐标变换问题：在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可以作为V的一组基。对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的。那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？一、基变换公式与

6、过渡矩阵二、坐标变换公式第四节线性变换１．映射线性空间中向量之间的联系，是通过线性空间到线性空间的映射来实现的．一、线性变换的概念二、线性变换的性质第五节线性变换的矩阵表示一、线性变换的矩阵表示式二、线性变换在给定基下的矩阵三、线性变换在不同基下的矩阵定理表明：B与A相似，且两个基之间的过渡矩阵P就是相似变换矩阵。