线性空间与线性变换

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1、线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇第五讲线性空间与线性变换一、基本概念1.数域数的集合，且1)；2)关于运算封闭.例如：数域*任意数域都包含有理数域（有理数域是最小的数域）.数域有无穷多.2.数域上的线性空间非空集合+数域+集合在数域上关于“+”与“数乘”运算封闭+八条规律线性空间也称为向量空间，其中的元素也称为向量.*维实向量线性空间例如，例5.1-例5.73.子空间1)；2)且是数域上的线性空间.生成子空间1)；2).（P84例5.10）4.基维数坐标基线性空间中的“极大线性无关组”P84维数“极大线性无关

2、组”的秩P84例如，例5.11-例5.14坐标线性空间中的向量由基线性表示的系数P85例如，例5.15-例5.165.基变换和坐标变换基变换基之间的线性变换P87过渡矩阵构成基变换的矩阵（过渡矩阵是可逆矩阵）P88坐标变换向量在不同的基下的坐标之间的线性变换P886.线性变换线性变换线性空间到的满足线性运算的映射P89例如，例5.17-例5.20-7-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇线性变换的矩阵基表示基的像的线性变换矩阵P90例如，例5.21-例5.227.欧氏空间内积设是实数域上的一个线性空间，在上定义一

3、个二元函数，记作，如果它满足：1)，有1)（对称性）；2),（线性性）；3),当且仅当时，（正定性），则称这个二元函数是上的内积.P93欧氏空间定义了内积的实线性空间（实数域上的线性空间）P93*维实向量线性空间是欧氏空间例如，例5.24-例5.26向量的长P94单位向量（规范性）P94向量的夹角，P94向量的正交（正交性）P94例如，标准单位向量组中的向量是相互正交的向量例1（P94例5.27）8.规范正交基规范向量组向量长度皆为1的向量组正交向量组向量皆非零且互相正交的向量组（正交向量组线性无关）P94规范正交向量

4、组满足规范性和正交性的向量组，即若满足：，P94正交基/规范正交基由正交向量组成的基/由规范正交向量组成的基P95正交矩阵P97二、基本结论1.线性空间的基本性质P831)线性空间的零向量是唯一的；-7-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇2)每一个向量的负向量是唯一的；3)；4)若,则.2.子空间的判定定理1（P84定理5.1）例如，例5.8-例5.9推论（P85）如果线性空间，则.3.基的性质定理2（P85定理5.2）（产生基的方法）推论（P85）含有非零向量的线性空间一定存在基.推论（P95）非空的欧氏空间

5、一定存在规范正交基.4.坐标变换与基变换的关系定理3（P88定理5.3）例1（P88）5.线性变换的性质线性变换的性质（P88）定理4（P91定理5.4）(向量与向量的像在同一基下的坐标的关系)定理5（P92定理5.5）(两组基的线性变换矩阵之间的关系)例2（P92例5.23）6.正交矩阵的性质(1)；(2)是正交矩阵的充要条件是的行向量组和列向量组是规范正交向量组.P97例3（P97例5.30）三、向量组的规范正交化定理1（P95定理5.7）例1（P95例5.28）例2（P96例5.29）四、习题解答1.P983.提

6、示:即求的极大线性无关组极其秩.2.P985.提示:（1）是维线性空间.是的一组基.（3）是维线性空间.是的一组基.-7-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇（5）是1维线性空间,是的一组基.（6）是2维线性空间,是的一组基.3.P986.提示:（1）,所以是线性空间的一组基.（2）设,则.,所以在基下的坐标为.4.P987.提示:令,有,故线性无关,可以成为线性空间的一组基.因为,所以在基下的坐标为,即.5.P988.提示:（1）过渡矩阵;（2）.6.P9910.提示:计算基的像,表示,则即是所求.-7-线性代

7、数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇7.P9911.提示:同上题8.P9912.提示:（1）同上题;（2）用表示,并计算像.余下同（1）.9.P9913.提示:（1）.余下同12.（2）;（2）,余下同上;（3）,余下同上.10.P10014.提示:故由生成的子空间的一组基为.正交化,单位化.故空间的一组规范正交基为.11.P10016.17.-7-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇提示:（1）、（2）是正交矩阵（3）（4）12.P1003.提示:P6411.13.P1004.提示:表示法唯一线性无关;任意向量

8、都可由线性表示是一组基.14.P1005.提示:（1）;（2）.14.P1006.提示:同12.（2）.15.P1017.提示:（1）关于y轴对称;（2）投影到x轴;（3）关于直线y=x对称;（4）逆时针旋转900.16.P1018.提示:.（1）;（2）;（3）.17.P10210.提示:方程组的解即为所求.-7-线性代数与空间