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1、第七章量子力学中的力学量第1节表示力学量的算符上一章解决了问题：如何求出一个系统的波函数（写出哈密顿算符，求解其本征方程——薛定谔方程，本征函数即为波函数）。已知波函数，如何求得对应的力学量的值？一，本征值方程：算符：作用在一个函数上得到另一个函数得运算符号。如：某个操作（运算）把函数u→v，可以写成：对任一算符，都可以写出：——本征值方程λ——本征值，ψ——本征函数。一般力学量的算符：二：力学量的算符前面已知的算符例子：动量算符能量算符自由粒子的能量算符，或动能算符哈密顿算符1，利用自由粒子的波函数得到动量和能量算符，再设坐标算符就是坐标本身；2，力学量的其他算
2、符，可以由其经典形式得出：设力学量F，其经典表达式为F=F(r,p)，则对应算符为角动量算符经典力学中，动量为p，坐标r的粒子，绕坐标原点O的角动量：L=r×p，则量子力学中，对应的角动量算符为：（注意区别其中i，分别表示虚数单位和x方向单位矢量）考虑总角动量与分量之间的关系：等等。经典力学中没有，而量子力学中特有的力学量（例如自旋），则通过另外的方法引入。三：算符的一般性质和运算规则1：算符的和：称为算符的和。交换律：加法结合律：2：算符的积：一般不满足交换律：例如：即：交换后不相等。3：算符的对易式：定义对易式：则2中的结果可以表示成：同样：而：一般情况写成：
3、——量子力学的基本对易式其中——离散Dirac函数四：算符和力学量之间的关系：前面已经求解了两个定态问题（一维无限深势阱和一维线性谐振子），其共同特征是求解定态薛定谔方程：一维无限深势阱：一维线性谐振子：量子力学认为：当体系处于哈密顿算符的本征态ψn时，算符所对应的本征值E有确定值En。由此总结出下面的假定（量子力学的基本假设之一）：（思考）如果体系状态不是该力学量算符的本征态，那么力学量的值应该是多少？五：厄密算符：1，厄密算符的本征值是实数：定义：如果对于任意两个函数ψ和φ，有算符满足等式则称为厄密算符。积分范围是所有变量变化的整个区域。证明：由于ψ和φ的任意
4、性，可以取φ=ψ，且为厄密算符的本征函数，对应的本征值为λ，则上面的式子左边为：而右边为：即：可知λ为实数。说明：1)，厄密算符的本征值为实数；2)，表示力学量的算符为厄密算符，才能使对应的本征值（即力学量的值）为实数。2，厄密算符的属于不同本征值的本征函数相互正交：1)，正交性：如果两个不同的函数ψ1和ψ2满足关系式：称ψ1和ψ2相互正交。式中的积分是对变量变化的全部区域进行的。2)，厄密算符的本征函数之间相互正交。证明：设厄密算符F，其本征值为λ1，λ2，…，λn，…，且都不相等，对应的本征函数为φ1，φ2，…，φn，…，任意取两个本征方程：则有：厄密算符的定
5、义式：左边：右边：即：由于通常φk还是归一化的，即：所以上面的结论可以写成：——本征函数的正交归一化条件。如果算符的本征值组成连续谱，则上述条件可以写成：满足上述正交归一化条件的函数系φk（分立谱）或φλ（连续谱）称为正交归一系。第2节动量算符和角动量算符本节介绍常见的力学量：动量和角动量算符的一些性质。一：动量算符：三维：一维：本征方程：1，本征值px为任意实数，连续谱。2，本征函数ψ(x)不能按照通常的方法归一化，下式不成立：此类波函数可使用周期性边界条件，进行箱归一化。二：角动量算符：1：角动量算符的形式：量子力学中的角动量算符表示为：其分量形式为：等等。角
6、动量平方算符：2：球坐标系中的角动量算符：用球坐标系，则：则角动量z分量和平方算符在球坐标系中可以写成：3：角动量平方以及z分量算符的本征值和本征函数：角动量平方算符的本征方程为：数学物理方法里面介绍，此方程的本征值为λħ2，其中本征函数为球函数（球谐函数）Y(θ,φ)，其形式为：——缔合勒让德多项式——归一化系数说明：1，每个l对应一个不同的本征值λħ2=l(l+1)ħ2，其中l称为角量子数。2，每个本征值l(l+1)ħ2对应2l+1个不同的本征函数Ylm(θ,φ)，其中m=-l,...,0,1,2,...,l，共有2l+1个不同的取值。其中m称为磁量子数。3，
7、多个本征函数对应于一个本征值的情形——简并。一个本征值所对应的本征函数数目——简并度。角动量平方算符本征值的简并度为2l+1。（本征值对应着能量，本征函数对应状态，则相当于同一个能级上有多个不同的状态。）角动量z分量算符，其本征方程为：其形式解为：A——归一化常数φ是2π为周期的，则有Φ(φ+2π)=Φ(φ)，即：可解出本征值为：对应本征函数为：归一化：可以证明球函数Ylm(θ,φ)，也是Lz的本征函数（证明过程略），即有：一般称l=0的状态为s态，l=1,2,3,...的状态分别为p,d,f,...，处于这些态的粒子，分别称为s,p,d,f粒子。下面列出前面几个
8、球函数：第
