复变函数与积分变换—复变函数6.2.ppt

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1、复变函数与积分变换第六章共形映射1.共形映射的概念2.分式线性映射3.唯一决定分式线性映射的条件4.几个初等函数所构成的映射5.关于共形映射的几个一般性定理6.Schwarz-Christoffel映射7.Laolace方程的边值问题8.第六章小结与习题....第二节分式线性映射分式线性映射的概念1几种简单的分式线性映射2小结与思考4分式线性映射的性质3一、分式线性映射的概念称为分式线性映射.说明:否则,由于那末整个z平面映射成w平面上的一点.分式线性映射的逆映射,也是分式线性映射.2)由3)两分式线性映射仍复合为分式线性映4)分式线性映

2、射一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊的简单映射复合而成:二、几种简单的分式线性映射平移映射(为方便起见,令w平面与z平面重合)旋转与伸长(或缩短)变换事实上,设那末因此,把z先转一个角度关于横轴对称反演变换此映射可进一步分解为欲由点z作出点w,可考虑如下作图次序:关键:对称点的定义:设C为以原点为中心,r为半径的圆周.在以满足关系式那末就称这两点为关于这圆周的对称点.规定:无穷远点的对称点是圆心O....设P在C外,从P作C的切线PT,由T作OP的垂作图:.故可知:...关于单位圆对称关于实轴对称三、分式线性映射的性质1.一一对应

3、性例如:结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应.2.保角性若规定:两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处的交角,等于它们在映射下所映成的通过圆点的两条象曲线的交角.综上所述知:综上所述:定理一分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的，且具有保角性3.保圆性所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为圆周的性质.特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周.1)映射特点:所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.2)映射若z平面上圆方程为:令有代入z平面圆方程得其象曲线方程:即所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.3)分式线性映射定理二分式线性映射将扩充z平面上的圆

4、周映射成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.说明:如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周;有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线.如果对称点的特性....4.保对称性....结论充要条件是:即分式线性映射具有保对称性.定理三证分式线性映射[证毕]分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯(1790~1868)研究,所以也称为默比乌斯映射.对每一个固定的w,此式关于z是线性的;对每一个固定的z,此式关于w也是线性的,因此称上式是双线性的.分式线性映射也称双线性映射.默比乌斯小知识四、小结与思考分式线性映射是一

5、类比较简单而又很重要的共形映射,应熟悉分式线性映射的分解和复合,及其保角性、保圆性和保对称性.思考题思考题答案默比乌斯资料AugustMöbiusBorn:17Nov1790inSchulpforta,Saxony(nowGermany)Died:26Sept1868inLeipzig,GermanyThankYou!再见！