数学物理方法_第7章 Green函数法.pdf

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1、7.1引言Green函数，有时又称点源函数或者影响函数，是数学物理中的一个重要概念。这概念之所以重要是由于以下原因：从物理上看，在某种情况下，一个数学物理方程表示的是一种特定的场和产生这种场的源之间的关系（例如热传导方程表示温度场和热源的关系，Poisson方程表示静电场和电荷分布的关系等等），而Green函数则代表一个点源所产生的场，知道了一个点源的场，就可以用叠加的方法算出任意源的场。例如，静电场的电势u满足Poisson方程2u4(7.1.1)其中是电荷密度，根据库仑定律，位于M0点的一个正的点电荷在无界空间中的M点处产生的电势是1GMM(,)0(7.1.2

2、)rMM0由此可求得任意电荷分布密度为的“源”在M点所产生的电势为()M0uM()dMGMM(,)(MdM)0000(7.1.3)rMM0其中dM0为空间体积元dxdydz000的简写。式中的GMM(,0称为方程（)7.1.1）左边2Laplace算符在无界空间中的Green函数，用它可以求出方程（7.1.1）在无界空间的解式（7.1.3）。在一般的数学物理问题中，要求的是满足一定边界条件和（或）初始条件的解，相应的Green函数也就比举例的Green函数要复杂一些，因为在这种情形下，一个点源所产生的场还受到边界条件和（或）初始条件的影响，而这些影响本身也是待定

3、的。因此，普遍地说，Green函数是一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场，利用Green函数，可求出任意分布的源所产生的场。下面以Poisson方程的第一、二、三类边界条件为例进一步阐明Green函数的概念，并讨论Green函数法—解的积分表示。§7.2Poisson方程的边值问题三维Poisson方程的边值问题，可以统一写成2uM()hM(),M,(7.2.1)uugM().(7.2.2)nS其中,是不同时为零的常数，S是的边界。下面推导定解问题（7.2.1）—（7.2.2）用Green函数表示的解的积分表达式

4、，引入函数GMM(,)使之满足02GMM(,)(MM)(M)00其中M0Mxyz0(,00,)0为区域中的任意点，则由的函数定义知，GMM(,)为在M00点的点源所产生的场，以函数GMM(,0)乘式（7.2.1）的两边，同时以函数uM()乘式（7.2.6）的两边，然后相减得22GMM(,)uM()uM()GMM(,)00uM()(MM)GMMhM(,)()00将上式在上对Mxyz(,,)积分，利用Green公式，经过繁复的推导，并考虑Green函数的对易性GMM(,00)GMM(,)得到uM()(,GMMhMd)()000（7.2

5、.9）uGMM(,)()(,)dSuMGMMdS00000nnSS00式（7.2.9）被称为基本积分公式或解的积分表达式。它的物理意义是十分清楚的:右边第一个积分代表在区域中体分布源hM()0在M点产生的场的总和，而第二、三两个积分则是边界上的源所产生的场。这两种影响都是由同一Green函数给出的。式（7.2.9）给出了Poisson方程或Laplace方（h0时）解的积分表达式。在具体的边界条件下，解式有更具体的形式。（1）第一类边界条件，即在式（7.2.2）中，10,则ugM()fM()(7.2.10)S若要求GMM(,)满足第一类齐次边

6、界条件0GMM(,)0(7.2.11)0Su则式（7.2.9）中的面积分中，含n的项消失0从而式（7.2.9）变为uM()GMMhMd(,)()fM()GMMd(,)000000n0(7.2.12)我们称方程（7.2.6）和边界条件（7.2.11）所构成的定解问题2GMM(,)(MM)(M),00(7.2.13)GMM(,)00S的解GMM(,)为由方程（7.2.1）的边界条件0（7.2.10）所构成的Direchlet问题2uM()()(hM),MufM()(7.2.14)S的Green函数。简称Dire

7、chlet-Green函数；而称式（7.2.12）为Direchlet积分公式，它是Direchlet问题（7.2.14）的积分形式的解。（2）第三类边界条件，即式（7.2.2）中,均不为零。若要求GMM(,)满足第三类0齐次边界条件，即GMM(,)GMM(,)0(7.2.15)00nS则以GMM(,)0乘以（7.2.2），以uM()乘以（7.2.15），然后再将两式相减，得u1GMM(,)uM()GMM(,GMMgM)(,)()000nn