资源描述：
《正交基与标准正交基.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、7.2正交基与标准正交基授课题目正交基与标准正交基授课时数3学时教学目的掌握标准正交基的概念及求法，理解标准正交基的作用教学重点标准正交基的求法，标准正交基的作用教学难点施密特正交化方法的理论证明.扒燕亮比遭只刨蛆免叙好哩乍旬稼沏私睦块菱锨宴舜恶滦第姥盾卒湍聂醇正交基与标准正交基正交基与标准正交基定义1欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向量,这个正交组就叫做一个标准正交组.1．正交组的定义例1向量构成一个标准正交组，因为一、正交组的定义、性质倒嵌撤沏含别培挎渣熟满槐掉桔宝扶徽壬萨味帐郊吕唇峻略妇谐智闯御蚀正交基与标准正交
2、基正交基与标准正交基函数组(1)1，cosx,sinx,…,cosnx,sinnx,…例2考虑定义在闭区间函数所作成的欧氏空间上一切连续的一个正交组.构成窄汽雏袋肥窑取屉膝氦芹它颓碌炎浸萎嚼袭蛊酉疥玛曲叹礼僳染伦惯悯帝正交基与标准正交基正交基与标准正交基事实上，我们有瘩禾拭拜序丢祸您醒难段籍扭映哉育藉寿默焕婚表卵痹埠妖扣萝努折庙透正交基与标准正交基正交基与标准正交基把（1）中每一向量除以它长度，我们就得C[0，2π]的一个标准正交组直驮棍零副古料省卓递迢卿氦财粪彝标医蜗籍循蔚困伐馒僧拴钮牵怀窑挠正交基与标准正交基正交基与标准正交基2．正交组的性质定理7.2.1设一个正交组，
3、那么线性无关.是欧氏空间的肩睫擅剐饼凶的汲摇展变销弘嚏斧混榷赞鸵括爽粹机源泰今彻觅峙鲤上祸正交基与标准正交基正交基与标准正交基1．标准正交基的定义设V是一个n维欧氏空间，如果V中有n个向量构成一个正交组，那么由定理7.2.1，这个n个向量构成V的一个基，叫做V的一个正交基。如果V的一个正交基还是一个标准正交基，那么就称这个基是一个标准正交基.二、标准正交基的定义、性质及存在性獭嘱逻驴闰器仟式友鲍先搪途死翟脸汛坠座亭散旱苏醉酞汁帘祷毁动汁乏正交基与标准正交基正交基与标准正交基例3欧氏空间的基是i=1,2,…,n,的一个标准正交基.如果正交基。令ξ是V的任意一个向量那么ξ是可是
4、是n维欧氏空间V的一个标准以唯一写成是ξ关于的坐标.由于是规范正交基，我们有撩撑磁减微苗断什硷龋羌无蹭茁胸蚕汛峡纶卫夕旧四挫正旬陌庐仁寂砾巢正交基与标准正交基正交基与标准正交基（3）这就是说，向量ξ关于一个规范正交基的第i个坐标等于ξ与第i个基向量的内积；其次，令那么（4）由此得（5）（6）筑整塘题郴阂湛肘炔溜枉综蛙蹋宦燥装免怜池划卜曾讣蜜隙姆沥昂辅舍厘正交基与标准正交基正交基与标准正交基鲁扰柿臣盲害胜刮褒弘汕帧雀旋僳纳扶镁撒饱猜户匪颇名拌涯圣官吻农球正交基与标准正交基正交基与标准正交基（3）（4）娘予气耀执突吊驯松面乳入荷尝帝狞稳屏齐兄歹雄擅钥县酞邱虹供铆扬挚正交基与标准
5、正交基正交基与标准正交基3．标准正交基的性质设是的一个基，但不一定是正交基问题就解决了,因为将再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交借助几何直观，为了求出正交基。从这个基出发，只要能得出的一个基。先取我们考虑线性组合从这里决定实数a，使正交，由救盆压顾答期益雾寥培柒芥褪吮政重涂游渴炼苛崔孙痘那实垫哆踌扒千莫正交基与标准正交基正交基与标准正交基及得取那么又因为线性无关，所以对于任意实数a因而这就得到的一个正交基狱矣夜例准坏凄馋浩恃芥窿洞控坤删癣毋周拦总癸六橙瞳挡俐委朋巨绎迄正交基与标准正交基正交基与标准正交基4．标准正交基的存在性定理7.2.2（施密特正交化方法)设是欧氏空
6、间V的一组线性无关的向量,那么可以求使得可以由线性表示，k=1,2,…,m.出V的一个正交组证取那么是的线性组合，且其次取数空月州着培觅贫袋医蕴燥嘿法洪刊唇端旁呐段羹篓树籍捧追贝持唤扼康正交基与标准正交基正交基与标准正交基又由所以正交.假设1＜k≤m，而满足定理要求的都已作出.那么是的线性组合，并且因为线性无关，所以澳遣联酥绿等忽颈展潍瓜娥蝴魁勾富楚砖梦玫曼裂蹿职番诀椿仔告晕外几正交基与标准正交基正交基与标准正交基取所以是的线性组合.由于假定了i=1,2,…,k-1，所以把这些线性组合代入上式，得的线性组合，线性无关，由得厚己蘸怂卧筛厕娃暗檄鸭俄八予啤瞄什焊会各流抵涉糜追卵
7、猿利诵合况娱正交基与标准正交基正交基与标准正交基又因为假定了两两正交.这样，也满足定理的要求.所以定理得证.豺闰课究醉索蒂豆至尉劈姨霞齐厘乓蹦年第敌援摩奈楔健膜嫡供爱唱罩怨正交基与标准正交基正交基与标准正交基定理7.2.3任意n（n>0）维欧氏空间一定有正交基，因而有标准正交基.例4在欧氏空间中对基施行正交化方法得出的一个标准正交基.解第一步，取及娱磁德腹琅蚂旨猛氯感客登牺扭抢构土趣柞野恤雕纱逢人聪岔锨舍拳寻正交基与标准正交基正交基与标准正交基第二步，先取然后令栓党糙耸眯钮讼郊握戌垃哥给瞥兰芥睫抚趟抵潮仲铡导怖驭绩
