标准正交基与正交矩阵ppt课件.ppt

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1、4.5标准正交基与正交矩阵黄凤英信息科学与计算学院内积的定义主要内容内积的性质向量的长度和夹角正交向量组的性质正交基与规范正交基正交矩阵正交变换定义1设有n维向量令[x,y]=x1y1+x2y2+···+xnyn,[x,y]称为向量x与y的内积.一、内积的定义内积是向量的一种运算，运算结果是一个实数阵记号表示.x与y都是列向量，有[x,y]=xTy=yTx.这种运算也可用矩例如：（1）[x,y]=[y,x];（2）[x,y]=[x,y];（3）[x+y,z]=[x,z]+[y,z];（4）[x,x]≥0,且

2、当x0时有[x,x]>0.下列性质：二、内积的性质设x,y,z为n维向量，为实数，则内积有在解析几何中，我们曾引进向量的数量积度和夹角.广.并且反过来，利用内积来定义n维向量的长念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概所以n维向量的内积是数量积的一种推广.但n(x1,x2,x3)·(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3.且在直角坐标系中，有x·y=

3、x

4、

5、y

6、cos,三、向量的长度和夹角1.长度的定义定义2令

7、

8、x

9、

10、称为n维向量x的长度(或模).当

11、

12、

13、x

14、

15、=1时,称x为单位向量.(1)非负性当x0时,

16、

17、x

18、

19、>0;当x=0时,

20、

21、x

22、

23、=0.(2)齐次性

24、

25、x

26、

27、=

28、

29、

30、

31、x

32、

33、;(3)三角不等式

34、

35、x+y

36、

37、≤

38、

39、x

40、

41、+

42、

43、y

44、

45、.是一个单位向量，称这当x0时，一运算为将向量x标准化或单位化。向量的长度具有下列性质:2.长度的性质例如：单位化x3.向量的夹角向量的内积满足施瓦茨不等式[x,y]2≤[x,x][y,y],由此可得(当

46、

47、x

48、

49、

50、

51、y

52、

53、0时),令于是有下面的定义:定义当

54、

55、x

56、

57、0,

58、

59、y

60、

61、0时,称为n维向量x与y的

62、夹角.量正交.x=0,则x与任何向量都正交,即零向量与任何向当[x,y]=0时,称向量x与y正交.显然,若讲解书例11.正交向量组的定义定义若非零向量组a1,a2,···,am两两正交,即[ai,aj]=aiTaj=0(iǂj;i,j=1,2,….m)两两正交的非零向量,则a1,a2,···,am线性无关.定理1若n维向量a1,a2,···,am是一组则向量组称为正交向量组.若每个向量为单位向量，四、正交向量组的性质称此正交向量组为单位正交向量组。1.定义设a1,a2,···,an是a2,···,an是Rn的一

63、个标准正交基.如果a1,a2,···,an为单位正交向量组，则称a1,五、正交基与标准正交基Rn的一个基2.标准正交基的求法设a1,a2,···,ar是向量空间V的一个基,要正交化:我们可以用以下方法把a1,a2,···,ar规范···,ar这个基标准正交化.a1,a2,···,ar等价.这样一个问题,称为把a1,a2,正交的单位向量1,2,···,r,使1,2,···,r与求V的一个标准正交基.也就是要找一组两两xxxxxx取b1=a1;容易验证b1,···,br两两正交,且b1,···,br与然后只要把它们

64、单位化,即取a1,···,ar等价.就得V的一个标准正交基.bk与a1,···,ak等价.等价,还满足对任何k(1≤k≤r),向量组b1,···,正交化过程.它不仅满足b1,···,br与a1,···,ar向量组b1,···,br的过程称为施密特(Schimidt)上述从线性无关向量组a1,···,ar导出正交综上所述,求向量空间V的一个标准正交基的一个标准正交基.步骤3:把正交基b1,···,br单位化即得V正交化,得正交基b1,···,br;步骤2:用施密特正交化过程把a1,···,ar步骤1:求V的任意一

65、个基a1,···,ar;可归为以下三步:例4设试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.例5已知R3中两个向量求a3，使得a1,a2,a3为R3的一组正交基，并求与之等价的标准正交基。例6已知求一组非零向量a2,a3，使a1,a2,a3两两正交.定义4设A为n阶实矩阵,且ATA=E,都是正交矩阵.则称A为正交矩阵.例如六、正交矩阵2.正交矩阵的性质(1)若矩阵A为正交矩阵,则行(列)向量组是两两正交的单位向量组.定理2实矩阵A为正交矩阵的充要条件是A的AT=A-1;(2)实矩阵A为正交矩阵的充要条件是

66、A

67、=

68、;定义5若P为正交矩阵，则线性变换设y=Px为正交变换，则有y=Px称为正交变换.

69、

70、y

71、

72、=

73、

74、x

75、

76、说明经正交变换线段长度保持不变，七、正交变换