正交基与标准正交基.ppt

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1、7.2正交基与标准正交基授课题目正交基与标准正交基授课时数3学时教学目的掌握标准正交基的概念及求法，理解标准正交基的作用教学重点标准正交基的求法，标准正交基的作用教学难点施密特正交化方法的理论证明.定义1欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向量,这个正交组就叫做一个标准正交组.1．正交组的定义例1向量构成一个标准正交组，因为一、正交组的定义、性质函数组(1)1，cosx,sinx,…,cosnx,sinnx,…例2考虑定义在闭区间函数所作成的欧氏空间上一切连续的一个正交组.构成事实上

2、，我们有把（1）中每一向量除以它长度，我们就得C[0，2π]的一个标准正交组2．正交组的性质定理7.2.1设一个正交组，那么线性无关.是欧氏空间的1．标准正交基的定义设V是一个n维欧氏空间，如果V中有n个向量构成一个正交组，那么由定理7.2.1，这个n个向量构成V的一个基，叫做V的一个正交基。如果V的一个正交基还是一个标准正交基，那么就称这个基是一个标准正交基.二、标准正交基的定义、性质及存在性例3欧氏空间的基是i=1,2,…,n,的一个标准正交基.如果正交基。令ξ是V的任意一个向量那么ξ是可是是n维欧氏空间V的一个标准以唯一写成是ξ

3、关于的坐标.由于是规范正交基，我们有（3）这就是说，向量ξ关于一个规范正交基的第i个坐标等于ξ与第i个基向量的内积；其次，令那么（4）由此得（5）（6）（3）（4）3．标准正交基的性质设是的一个基，但不一定是正交基问题就解决了,因为将再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交借助几何直观，为了求出正交基。从这个基出发，只要能得出的一个基。先取我们考虑线性组合从这里决定实数a，使正交，由及得取那么又因为线性无关，所以对于任意实数a因而这就得到的一个正交基4．标准正交基的存在性定理7.2.2（施密特正交化方法)设是欧氏空间V的一组线性无关的

4、向量,那么可以求使得可以由线性表示，k=1,2,…,m.出V的一个正交组证取那么是的线性组合，且其次取又由所以正交.假设1＜k≤m，而满足定理要求的都已作出.那么是的线性组合，并且因为线性无关，所以取所以是的线性组合.由于假定了i=1,2,…,k-1，所以把这些线性组合代入上式，得的线性组合，线性无关，由得又因为假定了两两正交.这样，也满足定理的要求.所以定理得证.定理7.2.3任意n（n>0）维欧氏空间一定有正交基，因而有标准正交基.例4在欧氏空间中对基施行正交化方法得出的一个标准正交基.解第一步，取第二步，先取然后令第三步，取再令

5、于是就是的一个标准正交基.练习1设试把的基的一个基,并将它标准正交化.扩充成练习2设标准正交基,证明:也是V的一个标准正交基.是三维欧氏空间V的三、n维欧氏空间同构的概念及判别1．n维欧氏空间同构的定义定义3欧氏空间V与说是同构的，如果(i)作为实数域上向量空间，存在V到的一个同构映射(ii)对于任意，都有2．n维欧氏空间同构的概念及判别定理7.2.4两个有限维欧氏空间同构的充分且必要条件是它们的维数相等.推论任意n维欧氏空间都与同构.证令的标准正交基为：证线性无关==思考题求的解空间W的一个标准正交基.的一个标准正交基.并求其正交补