实变函数期中试卷及答案.doc

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1、一、判断题1.有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√）2.可数集的交集必为可数集。（×）3.设P,Q∈Rn，则ρP,Q=0ÛP=Q。（×）4.设点P为点集E的内点，则P为E的聚点，反之P为E的聚点，则P为E的内点。（×）5.开集中的每个点都是内点，也是聚点。（√）6.任意多个开集的并集仍为开集。（√）7.任意多个开集的交集仍为开集。（×）8.设AÍB，则m*A

2、；的内部空集；[0,1]。2.设，，则[0,1]；的内部空集；。3.设，，则；的内部；。4.设P是Cantor集，则为闭集；为完全集；没有内点；c；m*P=___0___。5.设为上的开集的构成区间，则满足，且，。三、证明题1.证明：。证明：因为，，所以，，，从而反之，对任意，即对任意，有为无限集，从而为无限集或为无限集至少有一个成立，即或，所以，，。综上所述，。2.设A2n-1=(0,1n)，A2n=(0,n)，n=1,2，…，求出集列{An}的上限集和下限集。解：；设，则存在N，使时，因此时，，即，所以属于下标比N大的

3、一切偶数指标集，从而属于无限多，得，又显然，所以。若有，则存在N，使对任意，有，因此若时，，即，令，得，此不可能，所以。3.可数点集的外侧度为零。证明:设对则则4.证明：不可数集减可数集的差集仍为不可数集。证明：记是不可数集，是可数集，因为，且为无限集（因为，否则的话，是至多可数集，与是不可数集矛盾），为至多可数集（因为，是可数集，所以为至多可数集），所以，，即，所以，仍为不可数集