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《实变函数期中试卷及答案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、判断题1.有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√）2.可数集的交集必为可数集。（×）??P=Q。（×）3.设P,Q∈??，则ρ(P,Q)=04.设点P为点集E的内点，则P为E的聚点，反之P为E的聚点，则P为E的内点。（×）5.开集中的每个点都是内点，也是聚点。（√）6.任意多个开集的并集仍为开集。（√）7.任意多个开集的交集仍为开集。（×）8.设AB，则?????
2、1的内部空集；E1[0,1]。2.设Rn2E[0,1]，则E1[0,1]；E的内部空集；[0,1]。R，11E13.设RnR2，E1{(x,y)x2y21}，则E1{(x,y)x2y21}；E1的内部E1；E1{(x,y)x2y21}。4.设P是Cantor集，则P为闭集；P为完全集；P没有内点；Pc；?????=___0___。5.设(a,b)为R1上的开集G的构成区间，则(a,b)满足(a,b)G，且aG，bG。三、证明题1.证明：(AB)AB。证明：因为AAB，BAB，所以，A(AB)，B(AB)，从而AB(AB)反之，对任意x(AB)，即对任意B(x,)，有B(x,)
3、(AB)(B(x,)A)(B(x,)B)为无限集，从而B(x,)A为无限集或B(x,)B为无限集至少有一个成立，即xA或xB，所以，xAB，(AB)AB。综上所述，(AB)AB。2.设??=(0,1)，??=(0,n)，n=1,2，⋯，求出集列{??}的上限集和下限集。2??-1??2????解：limnAn(0,)；设x(0,)，则存在N，使xN时，因此nN时，0xn，即xA2n，所以x属于下标比N大的一切偶数指标集，从而x属于无限多An，得xlimAn，又显然limAn(0,)，所以limAn(0,)。nnn若有xlimAn，则存在N，使对任意nN，有xAn，因此若2n1
4、Nn时，xA2n1，即0x1，令n，得0x0，此不可n能，所以limAn。n3.可数点集的外侧度为零。证明:设E{r1,r2,r3`````},EUIii1对0,I1(x1n1,x1nn1)x`````'```x(xnnn1,xnnn1)n2222则
5、I2
6、2nn1``````2nn12n(nn1)2222则
7、I2
8、2(2n2)
9、Ii
10、i(in2)nn2222
11、Ii
12、m*Emf
13、Ii
14、m*E0i1i12ii14.证明：不可数集减可数集的差集仍为不可数集。证明：记A是不可数集，B是可数集，因为A(AB)(AB)，且AB为无限集（因为，否则的话，A是至多可数集，与A是不可数集矛盾
15、），AB为至多可数集（因为ABB，B是可数集，所以AB为至多可数集），所以，AAB，即A:AB，所以，AB仍为不可数集
