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1、数学分析习题(上)一、单调有界法求极限：丿U单调有界原理判断极限存在,再求其极限。例I求数列y/a,Jd+丽,Jo+Ja+丽…(a〉0)的极限解：显然，此数列是单调上升的，下面证明数列有上界y[ci+1.申实_L1,£=0,数列｛兀｝满足条件：兀]>0,£+1=-(x“
2、+—)(/1eN)，计算lim兀”。2聲“虫解:显然对任何n，都有£〉0,故｛暫｝有下界，由于£+1=-(xn+—)>lxll~=^2“V心所以£+】一E=-(暫+丄)一暫=丄•匚忙<°所以｛©｝是单调递减的,故｛£｝的极限存2£2暫在。设limxn=A,对等式xn+x=-(xrt+—边取极限,得"TOC2兀A=-(A+—),^正数解为人=丽所以lim兀“=y[a2A"too注：例1与例2这一类数列，应在数列极限存在的前提下才能使用此种方法。二、用洛必塔法则求极限：当极限为待定型时，可用洛必塔法则
3、求Z。”「・1-cosxz0耐例3求lim；一(一型)5f0小.•1-cosxsinx1sinx1斛:lim——=lim=—lim=—•—()广Z)2x2心()兀2Inxqq例4、求lim—(一型)(a>0)xt+8xa00解：lim耐=lim丄=0尢aXT+8(XXaXT+OO(XXa[cosr2Jr又如：(1)求lim兀一>0x其它还有0-00,00-0O,0°,r,OO°均为待定型。这五种类型都可转化为°型或超型000例5求limxnInx(n>0)(()-oo型)XT『丄解：limx"In
4、x=-=lim——-~-=lim—=0XT0+x-0+J_xto+—•一0+nF例6、求lim(secx-/gx)(oo-oo)TtXT牙解：lim(secx-rg^)=lim-~也匕]・-COSX=lim=0—4-sinx2xtMCOSX2例7、求limxv(r?(,)XT。*In1limxln.vlimlim丄/--解:limx=lim严二A->0+x->0*二g"=电x->0+x—xxlim(-x)2例8、求lim{—arctgx)x(r型)x—>-HZ)兀2._2xln(—a/r©)解:
5、lim(—arctgx)x=limenXT+oC兀・YT+X2In(二a/v々.v)x2lim—X-H8-V例9.求hm(ctgx)lnX(oo°型).v->0+丄lim込解：lim(cfgAr)m'=ex^ln'xfx->o+cos.vsin.v三、积分法求极限：有些极限用定积分定义计算较为简便。Zrl_p1z.71•2兀.(〃一1)兀、例10、求lim—(sin—+sin—+・・・sin)msnnnnhli..1/•兀•2兀・(斤一1)兀、斛:lim—(sin—+sin——+…sin)“Tsn
6、nnn“TSnn"TS兀铝nn丄「sinxdx-—兀丄）兀例11、求lim^^"TSJl—12”-=lime,n^;f2nslim》吟e/=iInxJx_i=e~(其11'j1Inaz/x=-1是广义积分)例12^求lim(^—+—J—+•••+丄)"Ts〃+ln+2In解:原式=lim丄(一^-+—^+•••+in1+丄1+Znn—)tn1+-n=lim£丄丄=ms厶^兀n1+-ndx■小——=ln21+兀例13、求lim〃(一+~+•••+“too+i斤广+2・2n1)解：原式=lim-(“T
7、OCfl1+(丄)2+I+(丄Fnn)i+(-rnH1lim亍■八、a1+(—)「ndx7T+x2例14、求lim"T8Jn(n+V)Jn(2n-V)、解:原式=lim—(—]H—』HFen]*01nn)1+口n四、英他例题例15、若/在点兀0连续，那么1/1，是否也在X。连续？反之如何?解(1)若/在X。连续，贝IJI/I-与厂在无连续。(i)If在Xo连续。事实上，由于/(兀)在兀0连续，从而对V£>0,33(e)>0,当IA-Xo1<8时,有l/(x)-/(xo)l<£,而II/(x)I
8、-I/(xo)11<1f(x)-/(xo)I故当lx-x0lo及6〉0,使当lx-xol<8.时，有l/(x)lv斗，由连续性定义知，V6>0,382>0,当Ix-x01<§2时,有I/(x)-/(兀o)77°M现取§=min{8p82},则当Ix-x01<8时，(i)与(ii)同时成立，因此I/2U)-/2(Ao)1=1/W-/Uo)
