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1、开普勒定律的相关探讨教材第一章例题1-7介绍了以普勒第一、第二定律为已知条件，利用极坐标描述法求解行星加速度的过程。事实上，开普勒三大定律在我们平时学习屮应用十分频繁，但我们却常对这三大定律的最基本推导过程缺乏了解。在学习了理论力学相关矢口识后，我们已基本具备了对其进行理论上的基本推导的能力。行星轨道方程的推导：开普勒定律对行星运动的讨论都是在将行星合理简化为质点讨论的前提下的。取运动平面为极坐标平面，角动量则与极坐标平面垂直。质点的运动方程为：...2(3)m(r—r0)=F(r)m(rO+2r0)=0而厂°+2"=丄空丄，从而推出空』=
2、0,即r20=h,其屮h是积分常数。rcltclt该积分也便是质点角动量守恒的极坐标表示形式。由动量矩守恒定律，有L=L{}e_=rxmv=mrx(rer+r0eg')=mr20e.,可知力=垃(4)''m所以，得到如下方程组：m(5)r0=h建立轨道参量方程r=r(t3=0(t),消去t后，便可得出轨道曲线方程。2务&专务7%》令心得到方程组：0-hie(6)duciode.d^u门.a9d"ur=-h—0=-hur―-de2de-代入到(5)式的第一式，则得到轨道微分方程:-zn/?2w2(^-y+M)=F(w)cl0~从血可解岀"=
3、11(0),进而得到轨道方程r==r⑹万有引力公式：2即F（u）=-k2u2代入（7）式，可得:d2u=-u+k2tnh1或:d2（"-耳）mh=-（―耳）mn这是最简单的二阶常微方程，可解出:U=-=——7+力COS0rmh「mh2BP：k2厶+4cos&1+叫AcosOmh2k2其-P，A,h均为积分常数,hAm令卩二曙"曙A,则轨道方程简化为:p1+ecos0开普勒第二定律：行星对太阳径矢在相等的吋间里扫过相等的面积。行星对太阳的角动量的大小：sina=mlimA/->0rdrL=mrvsina=mr—dt=2mlim—=2m—SOA
4、rdt由角动量守恒，则第二定律得证。以上演算便导出了开普勒第一，第二定律，与教材第69页的推导相比，以上推导过程虽然较复杂，但更易理解。下面讲讲用力学相似性对开普勒第三定律的一个有趣讨论。力学相似性的结论来口于哈密顿原理：一个理想完整有势系统,在所有符合给定边条件r°,以心）和t],%（G，b=l,2,3,・・.J,且符合约束的轨道屮，实际轨道使作用量S=[叫4昇）山取极值。实际上，该原理等效于拉格朗日方程（参见经典力学，张启仁著）。在迪卡尔坐标系屮，动能为速度的二次齐次函数，与坐标无关，在轨道方程盘⑴（r=l,2,…J）中，用因子。乘每一
5、坐标，0乘吋间，则速度的每一分量华乘了因子(I旷，动能丁乘了因子w如果是函数为坐标的K次齐次函数血与速clt度和吋问五关，则在这种标度变换中成了因子卅。选择a,0,令,即：f3=a2则在标度变换中，拉氏量L=T-V乘了一常数因子作用量S乘了一常数因子aKf3o可见变换前令S取极值的轨道变换后仍令S取极值，即变换后的轨道仍为实际轨道。(该原理便是力学的相似性原理)而牛顿万有引力势：V(r)=-/G—«
6、',坐标的次数K二1,所以代入!_£3P=a2,有p=a^Q对一条椭圆轨道，周期「可作吋间尺度，半长轴长a可作空间尺度。在彼此相似的轨道屮任选
7、一条作标准，将周期和半长轴长分别记作为q,兔，则轨道屮其它轨道的周期和半长轴长分别为：r=0q),a=处。322由｛3-a-,得到：^7-=^-=Const.atz0得到开普勒第三定律的形式。这样，我们可以看出，开普勒第三定律这种看丄去的纯数学关系得到了形象的理解。以上就是我对开普勒三大定律所感兴趣方面的一些讨论。不足之处请老师指正。参考资料：《大学物理》第三册：力学；《经典力学》，张启任著孙奕帆010749
