瞬时速度与导数.ppt

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1、3.1.2瞬时速度与导数平均变化率的概念：一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点则当△x≠0时，商称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率。记△x=x1－x0=f(x0+△x)－f(x0).则△y=y1－y0=f(x1)－f(x0)1.式子中△x、△y的值可正、可负，但△x值不能为0，△y的值可以为0；2变式平均变化率Oxyy=f(x)BA已知物体运动位移和时间关系为函数的平均变化率为引例即为物体运动的平均速度。问题情境:跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设

2、t秒后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定t=2s时运动员的速度。(1)计算运动员在2s到2.1s(t∈[2,2.1])内的平均速度。(2)计算运动员在2s到2+⊿ts(t∈[2,2+⊿t])内的平均速度。时间区间△t平均速度[2，2.1]0.1-13.59[2,2.01]0.01-13.149[2,2.001]0.001-13.1049[2,2.0001]0.0001-13.10049[2,2.00001]0.00001-13.100049[2,2.000001]0.000001-13.1000049时间区间△t平均速度[1

3、.9，2]－0.1-12.61[1.99,2]－0.01-13.051[1.999,2]－0.001-13.0951[1.9999,2]－0.0001-13.09951[1.99999,2]－0.00001-13.099951该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。设物体作直线运动所经过的路程为s=h(t)。以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为就是物体在t0时刻的瞬时速度，即所以当t0时，比值瞬时速度函数的瞬时变化率：函数y=f(x)，在x0及其附近有意义，自变量在x=x0附近改变量为△x平均变化率为f(x0+△x)－f(x0).则函数值相

4、应的改变△y=当△x0时，常数常数称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率上述过程记作或瞬时速度的两种记法：思想方法：逼近思想即如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a,b)内可导．这时，对于开区间(a,b)内每一个确定的值x，都对应着一个确定的导数这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作例1.求y=x2在点x=1处的导数解：由定义求导数（三步法）步骤:变式1.求y=x2+2在点x=1处的导数解：（求极限时，若经整理后分母不含，则令其为0即可）练习：(

5、1)求函数y=x2在x=1处的导数;(2)求函数在x=2处的导数.例1．火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？解：火箭的运动方程为h(t)=100t－gt2，在t附近的平均变化率为=100－gt－g△t。当△t→0时，上式趋近于100－gt。可见t时刻的瞬时速度h’(t)=100－gt。令h’(t)=100－gt=0，解得所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为0.例3.求函数y=x2在点x=3处的导数。解：因为△y=(3+△x)2－32=6△x+(△x)2.所以=6+△x，令△x→0，→6所以函数y=x2在

6、点x=3处的导数为6.例4．质点M按规律s(t)=at2+1作直线运动，若质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值。解：因为△s=a(t+△t)2+1－(at2+1)=2at△t+a(△t)2，所以=2at+a△t，当△t→0时，s′=2at，由题意知t=2时，s′=8，即4a=8，解得a=2.例5．已知y=ax2+bx+c，求y′及y′

7、x=2。解：△y=a(x+△x)2+b(x+△x)+c－(ax2+bx+c)=(2ax+b)△x+a(△x)2，=(2ax+b)+a△x，当△x→0时，y′=2ax+b，当x=2时，y′

8、x=2=4a+b。求函数y

9、=f(x)在点x0处的导数的基本步骤是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.方法总结：练习题1．一物体的运动方程是s=3+t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为（）A．0.41B．3C．4D．4.1D2．设y=f(x)函数可导，则等于（）A．f′(1)B．不存在C．f′(1)D．3f′(1)C3．设，则等于（）A．B．C．D．C4．若f(x)=x3，f′(x0)=3，则x0的值是（）A．1B．－1C．±1D．C5．设函数f(x)=ax3+2，若

10、f′(－1)=3，则a=_______