高等数学课件4-4有理函数的积分.ppt

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1、$4几种特殊函数的积分1有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之..一、有理函数的积分Integrationofrationalfunction$4几种特殊函数的积分2假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式;Properfraction；这有理函数是假分式;Improperfraction；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例-4-2x+9如同2352034有理函数的积分就化为如何求真分式的积分$4几种特殊函数的积分3（1）分母中若有因式，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：

2、特殊地：Specially：分解后为难点Difficultpoint将有理函数化为部分分式之和.$4几种特殊函数的积分4（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：Specially：分解后为$4几种特殊函数的积分5分解定理：设多项式$4几种特殊函数的积分6$4几种特殊函数的积分7最简分式的积分有两类：积分为对数函数或有理真分式。积分为真分式、对数、反正切函数。由分解定理知道，只要会求最简分式（都可积）的积分即可。$4几种特殊函数的积分8例Example1例Example2解解$4几种特殊函数的积分9例Example3（

3、99硕士入学理工数学二）例Example4由P258,例9$4几种特殊函数的积分10例Example5将下列真分式化为部分分式之和：解由分解定理通分比较两端分子同次幂系数即可求得$4几种特殊函数的积分11例Example6（P262例1）解1（待定系数法）（1）$4几种特殊函数的积分12解2（观察法）由分解定理应为(x-2)-(x-3)求A、B还可用下面方法：在恒等式（1）中令x=2,得A=-5令x=3,得B=665$4几种特殊函数的积分13代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例Example7(P263例2）解$4几种

4、特殊函数的积分14求积分$4几种特殊函数的积分15例Example8(P264例4）整理得解$4几种特殊函数的积分16求积分$4几种特殊函数的积分17例9.观察法练习：23$4几种特殊函数的积分18例Example10求积分解令$4几种特殊函数的积分19$4几种特殊函数的积分20说明Directions将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：多项式；讨论积分Discusstheintegral令$4几种特殊函数的积分21则记Write$4几种特殊函数的积分22这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论Concl

5、usion有理函数的原函数都是初等函数.$4几种特殊函数的积分23三角有理式的定义：Definitionoftrigonometricrationalfunction由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为二、三角函数有理式的积分Integrationoftrigonometricrationalfunction$4几种特殊函数的积分24令（万能置换公式）$4几种特殊函数的积分25例11求积分解由万能置换公式$4几种特殊函数的积分26$4几种特殊函数的积分27例Example12求积分解（一）$4几种

6、特殊函数的积分28解（二）修改万能置换公式,.令$4几种特殊函数的积分29解（三）可以不用万能置换公式.结论Conclusion比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.$4几种特殊函数的积分30例13求积分解$4几种特殊函数的积分31$4几种特殊函数的积分32例14例15(总习题四,26)$4几种特殊函数的积分33讨论类型解决方法作代换去掉根号.例Instance16（P268例9）求积分解Solution令三.简单无理函数的积分Integrationofs

7、impleirrationalfunction$4几种特殊函数的积分34$4几种特殊函数的积分35例Example17求积分解令说明Directions无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数$4几种特殊函数的积分36例18求积分解先对分母进行有理化原式$4几种特殊函数的积分37简单无理式的积分.Integrationofsimpleirrationalfunction有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）四、小结Briefsummary有理函数

8、标准化三角函数有理化无理函数有理化三角化$4几种特殊函数的积分38思考题Considerationquestion将分式分解成部分分式之和时应注意什么？$4几种特殊函数的积分39思考题解答Solutiontoconsiderationquestion分解后的部分分式必须是最简分式.$4几种特殊函数的积分40练习题Ex