有理函数的积分ppt课件.ppt

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1、第四节基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:第四章第四节有理函数的积分第四章1有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.一、有理函数的积分2假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例难点将有理函数化为部分分式之和.3（1）分母中若有因式，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为4（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：分解后为5

2、真分式化为部分分式之和的待定系数法例16代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例27例3整理得8例4求积分解9例5求积分解10例6.求解:原式思考:如何求提示:变形方法同例611例7.求解:说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.12例8.求解:原式13例9.求解:原式(见P348公式21)注意本题技巧按常规方法较繁14按常规方法解:第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第三步分项积分.此解法较繁!15例10求积分解令1617说明将有

3、理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：多项式；讨论积分令18则记19这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.20三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为二、三角函数有理式的积分21令（万能置换公式）22例11求积分解由万能置换公式2324例12求积分解（一）25解（二）修改万能置换公式,令26解（三）可以不用万能置换公式.结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.27例13求积分解2829求解:说明:通

4、常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换30例.求解法1令原式31例.求解法2令原式32例.求解:因被积函数关于cosx为奇函数,可令原式33令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:令三、简单无理函数的积分34例14求积分解令35例15求积分解令说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.36例16求积分解先对分母进行有理化原式37简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）四、小结38思考题将分式分解成部分分式之和时应

5、注意什么？39思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式.40思考与练习如何求下列积分更简便?解:1.2.原式41练习题424344练习题答案45464748备用题1.求不定积分解：令则,故分母次数较高,宜使用倒代换.492.求不定积分解：原式=前式令;后式配元50