数值计算方法习题答案习题二数值积分.doc

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1、《计算方法》习题二学院：环境与资源学院　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　专业：水文与水资源专业　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学号：2004642001姓名：丁元芳（男）　1.计算下列函数关于的解：　　　　　　解：　当　　　　　　　　　　解：　　　　　　　解：　　　　　　　　　　当时，得驻点当，所以取极小值；当时，所以取极大值；　　　　　　因此时，是增函数，当时取最大值。　　　　　2.令试证是在上带权的正交多项式，并求　　（1）证明：由Chebyshev多项式的性质可知　　　　　　　　　　　　令则上式化为　　

2、　　　　因此，是在上带权的正交多项式。　　（2）解：当时，　则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3.是区间上带权的最高次项系数为1的正交多项式族，其中求和解：利用Schemite正交化方法容易得到　　　　　　　　　4.求使积分取得最小值。解：根据题意可知，所要求的是以为基底的最佳平方逼近多项式　　设　由于故　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由正规方程组可得，　　　　　　　即　　　　　　　　　解得：5.对定义　　　　问它们是否构成内积？　解：（1）由内积的性质可知：　　　　　对于性质1：可知成立；　　

3、　　　对于性质2：可知也成立；对于性质3：　　　　　　　　　　　可知也成立；对于性质4：当可以推出　　　　　　即为常数，但不一定为0；因此对于“当且仅当时，”不成立。　　　　　综上，可知（1）不构成内积。　　（2）由内积的性质可知：　　　　　对于性质1：　可知成立；对于性质2：　　　　　　　　可知也成立；对于性质3：　　　　　　　　　　　　，可知也成立；对于性质4：　　　　　　　　　假若则必有反之，若则且　由此可知　　可知此条性质成立。　　　　　综上，可知对于（2）式它构成内积。6．对权函数区间试求首项系数为1的正交多项式解：利用Schem

4、ite正交多项式方法来求解，　　　　7.利用正交化方法求上带权的前三个正交多项式解：权函数利用Schemite正交化方法得到　　　　　　8.判断函数在上两两正交，并求一个三次多项式，使其在上与上述函数两两正交。　解：（1）判断正交：可知正交；　　　判断正交：可知正交；　　　判断正交：可知正交。　　　综上可知函数在上两两正交。　　（2）设所求的三次多项式为　　　　　当与1在上正交时，有　　　　　　　　　　　　即；　　　　　当与在上正交时，有　　　　　　　　　　　即；　　　　　当与在上正交时，有即　　　　　求解可得，　　　　　因此得到三次多项式

5、为：9.用最小二乘原理求矛盾方程组　的最小二乘解。　解：由方程组得其系数矩阵，。　　　则方程的系数矩阵及右端项分别为　　　　　则方程为　　　　　　　即　　　　　　　解得：10.用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估计平方误差。192531384419.032.349.073.397.8　解：由题意可知，以为基底来进行计算，设　　　由正规方程组，有　　　其中的内积是下列向量的标量积。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　因此，得到方程组为　　　　　　　　　　　　　　　解得：　　　

6、　　其经验公式可以写为　　　　　平方误差为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11.求形如(a，b为常数)的经验公式，使它能和下表给出的数据相拟合.x12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6解：对经验公式两边同时取以为底的对数有，令则方程变为设于是由正规方程组，有其中　　　计算内积得：　　　　　　正规方程组为：　　解得：因此，　其经验公式为：12.求函数在给定区间上对于的最佳平方逼近多项式：　　　　　解：设于是由正规方程组可得　　　　　　　　　　　　计算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

7、　　得到方程组为　　　解得：　　最佳平方逼近多项式为　　　　　　　　解：设于是由正规方程组可得　　　　　　　　　　　　计算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　得到方程组为　　　解得：　　最佳平方逼近多项式为　　　　　　解：设于是由正规方程组可得　　　　　　　　　　　　计算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　得到方程组为　　　　解得：　　最佳平方逼近多项式为　　　　　　解：设于是由正规方程组可得　　　　　　　　　　　　计算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　得到方程组为　　　　解得：　　最佳平方逼近多项式为　　　　

8、　　13.在上求关于的三次最佳平方逼近多项式。　　解：设于是由正规方程组有，