数值计算方法习题答案习题三数值积分.doc

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1、《数值方法》习题三　　　　吉林大学朝阳校区　环境与资源学院　水文与水资源专业　丁元芳（男）　学号：20046420011.分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分并估计误差。　解：用梯形公式来计算：　　　　　　　由于可得　　　其误差为：　　　用Simpson公式来计算：　　　由于可得　　　　　用Cotes公式来计算：　由于可得2.证明Simpson公式具有三次代数精度。　解：因为Simpson求积公式是插值型的，所以其代数精度到少是2。　　　Simpson公式为当　　　上式右端　可知，Simpson公式对于也准确成立。　　　当　　　　　　

2、上式右端　　可知，Simpson公式对不成立。　综上可知，Simpson公式具有三次代数精度。3.分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算下列积分。　　　解：用复化梯形公式来计算有，　　　　　　由公式得　　　　　　　　　　用复化Simpson公式来计算有，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　用复化梯形公式来计算有，　　　　　　由公式得　　　　　　　　　　用复化Simpson公式来计算有，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：用复化梯形公式来计算有，　　　　　　由公式得　　　　　　　　　　用复化Simpson公式来计算有，　　　　　　

3、　　　　　　　　　　　　　解：用复化梯形公式来计算有，　　　　　　由公式得　　　用复化Simpson公式来计算有，　　　　4.给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式，并写出它的截断误差。　　解：由插值型求积公式　其中　　　　　　　　　　　　　　　　　　若在上存在，则该求积公式的截断误差为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5.给定积分　（1）利用复化梯形求积公式计算上述积分值，使其截断误差不超过　（2）取同样的求积节点，改用复化Simpson公式计算时，截断误差是多少？　（3）如果要求截断误差不超过，那么使用复化Simpson公式计算时，应将积分

4、区间分成多少等分？　　解：（1）由于所以　　　　　　　　　当　　　　　　若使求积误差不超过只需取h满足　　　　　　　　　　　　即　　取（即将区间分成26等分）。　　　　　　取依复化梯形公式　　　　　　　　　　　　　　（2）取同样的求积节点，改用复化Simpson公式计算，其截断误差为　　　　　　　　　　　　　　　（3）使用复化Simpson公式计算，其截断误差为　　　　　　　　　　　　若使截断误差不超过，只需取h满足　　　　　　　　因　　　　　　　解得　所以取　　　　　　即应将积分区间分成8等分。6.用Romberg求积方法计算下列积分，使误差不超过　解：

5、在上用梯形公式得　　　　将二等分　　　　　　　　　　　　　　将四等分　　　　　　　　　　　　　　　　　　将八等分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由于故计算可以停止。积分的近似值为解：在上用梯形公式得　　　　　　将二等分　　　　　　　　　　　　　　将四等分　　　　　　　　　　　　　　　　　　将八等分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　将十六等分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　积分的准确值为由于故计算可以停止。积分的近似值为解：在上用梯形公式得　　　　　　将二等分　　　　　　　　　　　　　　将四等分　　　　

6、　　　　　　　　　　　　　　将八等分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　将十六等分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　积分的准确值为由于故计算可以停止。积分的近似值为　　解：在上用梯形公式得　　　　　　将二等分　　　　　　　　　　　　　　将四等分　　　　　　　　　　　　　　　　　　将八等分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　将十六等分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由于故计算可以停止。积分的近似值为7.推导下列三种矩形求积公式：解：将在处Taylor展开，得两边在上积分，得将在处Taylor展开，得两边在上积分，得

7、将在处Taylor展开，得两边在上积分，得8.如果证明用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。证明：复化梯形公式为若在上连续，则复化梯形公式的余项为由于且所以使则(1)式成为：又因为所以即用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大。其几何意义：曲线在定义域内是向下凹的，即曲线在曲线上任两点连线的下方。9.对构造一个至少具有三次代数精度的求积公式。　解：因为具有4个求积节点的插值型求积公式，至少有三次代数精度。如果在上取节点0，1，2，3，则插值型求积公式为：　　　　　　　　　　　　其中系数为　　　　　　　　　　　　同理求得　　　　　　　即

8、有：　　10.判别下列求积公式是否是插值型的，并指明其代数精度：解