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1、《数值计算方法》课后题答案详解吉林大学《数值计算方法》第一章课后题答案第一章习题答案1.已知fff(1)2,(1)1,(2)1−===，求f()x的Lagrange插值多项式。解：由题意知：xxxyyy=−1,=1,=2;=2,=1,=1012012()xxxx−−()(1xx−−)(2)12l==0()xxxx−−()60102()xxxx−−()(1xx+−)(2)02l==1()xxxx−−()−21012()xxxx−−()(1xx+−)(1)l==012()xxxx−−()32021n(xx−−1)(2)(xx+−1)(2)(1xx+−)(1)∴Lx2()==×∑ylxjj
2、()2+×1+×1j=062−312=−()xx38+61−x2.取节点xxx===0,1,,对y=e建立Lagrange型二次插值函数，并估计差。0122解1)由题意知：11−−12x======0,xxyyeye1,;1,,0120122则根据二次Lagrange插值公式得：()xxxx−−()()xxxx−−()()xxxx−−()120201Lx()=++yyy2012()xxxx−−()()xxxx−−()()xxxx−−()010210122021−−10.5=−−+−2(xx1)(0.5)2(xxex0.5)−−4(xe1)−−10.52−−0.51=+−(22eexe
3、ex4)+(4−−+3)12)根据Lagrange余项定理，其误差为(3)f()ξ1−ξ
4、Rx()
5、
6、==ω()
7、
8、xexx(−1)(x−0.5)
9、22+13!61≤−max
10、(xx1)(x−0.5)
11、,ξ∈(0,1)601≤≤x2取txxx()=−−(1)(0.5),x并令tx′()3=−+=x30.50x33−可知当xt==0.2113时，()x有极大值61∴Rx()≤××−0.2113(0.21131)(0.21130.5)×−=0.00802263.已知函数yx=在xx==4,6.25,x=9处的函数值，试通过一个二次插值函数求7的近似值，并估计其误差。解：由题意yxxx==
12、知：4,=6.25,xyy=9;=2,=2.5,y=30120122（1）采用Lagrange插值多项式y=≈xLx2()=∑lxyj()jj=01《数值计算方法》第一章课后题答案yL=≈7(x)
13、27x=()xxxx−−()()xxxx−−()()xxxx−−()120201=++yyy012()xxxx−−()()xxxx−−()()xxxx−−()010210122021(76.25)(79)−−(74)(79)−−(74)(76.25)−−=×22+×.5+×32.255×−2.252.75×2.755×=2.6484848其误差为(3)f()ξR(7)=−(74)(76.2
14、5)(79)−−23!53−(3)2又fxx()=853−(3)2则max
15、fx()
16、=<40.01172[4,9]81∴
17、R(7)
18、<=(4.5)(0.01172)0.0087926（2）采用Newton插值多项式y=≈xNx()2根据题意作差商表：ixi()fxi一阶差商二阶差商04216.252.5292932−411495N(7)=+×−+−224(74)()(74)(76.25)×−×−≈2.648484829495k4.设f()xxk==(0,1,...,n)，试列出f(x)关于互异节点x(in=0,1,...,)的Lagrange插值i多项式。注意到：若n+1个节点x(
19、)in=0,1,...,互异，则对任意次数≤n的多项式f()x，它关于节点ixi()in=0,1,...,满足条件Px()ii==yi,0,1,...,n的插值多项式Px()就是它本身。可见，当kn≤时k幂函数f()xxk==(0,1,...,)n关于n+1个节点x(in=0,1,...,)的插值多项式就是它本身，故依iLagrange公式有nnnkkxx−ik∑∑xjjlx()=≡(∏)xxkj,=0,1,...,njj==00i=0xxji−ij≠特别地，当k=0时，有nnnxx−i∑∑lxj()=≡∏1jj==00i=0xxji−ij≠而当k=1时有⎛⎞nnn⎜⎟xx−i∑∑x
20、jjlx()=⎜⎟∏−xxj≡jj==00⎜⎟i=0xxji⎝⎠ij≠5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。2《数值计算方法》第一章课后题答案x0124f()x19233解：（1）Lagrange插值多项式33x−xiLx3()=∑lxyjj()lxj()=∏j=0i=0,xj−xiij≠32xxxx−−xx−x−−−124xxxxx−71+−48123lx()=••=••=−
