《动量矩定理》PPT课件.ppt

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1、普通高等教育规划教材编著肖明葵程光均张祥东吴云芳邹昭文课件制作王建宁理论力学13.1动量矩13.2转动惯量回转半径惯性积惯性主轴13.3动量矩定理的形式及应用13.4刚体定轴转动微分方程13.5质点系相对于质心的动量矩和动量矩定理刚体平面运动微分方程第13章动量矩定理在第11章中阐述了动量定理，建立了作用于质点系上的外力与质点系动量之间变化的关系。但是，质点系的动量只是描述质点系随质心平动的运动量，而不能完全描述质点系的所有机械运动量。例如，当定轴转动刚体的质心位于转轴上时，无论外界通过力的作用传递了多少机械运动量给它，也无论其角速度如何增大，运动如何增强，其动量恒等于零。第13章动量矩

2、定理由此可见，质点系的动量不能描述质点系相对于质心转动的运动量，动量定理也不能表征这种运动的规律，而必须用其他理论来解决这个问题。动量矩定理正是描述质点系相对某一定点或定轴转动规律的理论。本章将介绍质点系对定点或定轴的动量矩及其动量矩定理、惯性矩、惯性积、惯性主轴、刚体定轴转动微分方程、质点系相对于质心的动量矩定理和刚体平面运动微分方程。第13章动量矩定理13.1动量矩1.质点的动量矩设质点M的质量为m，在运动的某瞬时的速度为v，其动量为mv，对固定点O的位置矢径为r(图13.1)，其在直角坐标轴上的投影分别为x,y,z。类似于力对点之矩，将质点的动量对点O的矩，称为质点对点O的动量矩，

3、记为（13.1）图13.1质点对点O的动量矩是矢量，其方位垂直于r和矢量mv所决定的平面，指向按右手螺旋法则确定。设质点M的动量在直角坐标轴上的投影分别为类似于力矩关系定理，可得到质点的动量对通过固定点O的固定轴x、y、z之矩为（13.2）13.1动量矩分别称为质点对固定轴x、y、z的动量矩。显然，质点对轴的动量矩是代数量，其正负号按右手螺旋法则确定。动量矩的量纲为，其国际单位为。13.1动量矩2.质点系的动量矩质点系中所有各质点的动量对于任选的固定点O的矩的矢量和，称为质点系对固定点O的动量矩，记为其中、、分别为质点的质量、速度和对于点O的位置矢径。13.1动量矩类似地，质点系中所有各

4、质点的动量对于任一固定轴的矩的代数和，称为质点系对于该轴的动量矩，即（13.4）利用式（13.2），有（13.5）即质点系对固定点O的动量矩在通过该点的某轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。13.1动量矩3.定轴转动刚体对转轴的动量矩设刚体以角速度ω绕固定轴z转动（见图13.2），刚体内任一质点的质量为，到转轴的距离为，速度为。则质点的动量对轴z的动量矩为图13.213.1动量矩为刚体对转轴z的转动惯量，整个刚体对转轴z的动量矩为令，称关于刚体对轴的转动惯量将在下一节中讨论。于是有（13.6）即定轴转动刚体对于转轴的动量矩等于刚体对于转轴的转动惯量与角速度的乘积。13.1动量矩例13.1

5、如图13.3所示物体系统，物块A、B的质量分别为m1和m2，均质圆轮的半径为r，质量为m，对轮心轴O的转动惯量为。绳与轮间无滑动，不计绳的质量和伸长量。图示瞬时已知A物块的速度为v，试求系统对转轴O的动量矩。图13.313.1动量矩解系统由物块A、B和均质圆轮组成，系统对转轴O的动量矩等于其内各物体对转轴的动量矩之和。由运动学知，。物块A、B对转轴O的动量矩分别为（逆时针转向）（逆时针转向）13.1动量矩圆轮对转轴O的动量矩为（逆时针转向）（逆时针转向）故系统对转轴O的动量矩13.1动量矩13.2转动惯量·回转半径·惯性积·惯性主轴刚体是由无限个质点组成的不变质点系，在以后将要讨论的问题

6、里，有很多是与刚体的转动有关的，而描述刚体对轴的动量矩的一个重要物理量是转动惯量，因此在介绍质点系对点或轴的动量矩定理之前，我们先介绍刚体的转动惯量。1.刚体对轴的转动惯量和回转半径在上一节中曾经指出，刚体内所有各质点的质量与该质点到转轴的距离平方的乘积之和称为刚体对转轴的转动惯量，即有(13.7)13.2转动惯量·回转半径·惯性积·惯性主轴由上式可知，刚体对转轴的转动惯量不仅与其质量大小有关，而且还与其质量相对于转轴的分布状况有关。显然，对于一定质量的刚体，其中各质点离转轴越远，它对转轴的转动惯量就越大；反之则越小。但是，一个确定的刚体对于某一具体的轴，其转动惯量却为一确定的值。13.

7、2转动惯量·回转半径·惯性积·惯性主轴转动惯量是刚体转动惯性的度量，它是表征刚体动力学的一个重要物理量。由式(13.7)可知，转动惯量恒为正值。它的量纲为，相应的国际单位为。对于简单形状的刚体，若刚体的质量连续分布，整个刚体的质量为m，则式（13.7）中的求和运算就可改写成积分运算，即(13.8)式中积分号下标m表示积分范围遍及整个刚体。13.2转动惯量·回转半径·惯性积·惯性主轴对于均质刚体，设其质量密度为ρ，整个刚体的体积为V，