压轴大题突破练(三) 函数与导数(1).doc

压轴大题突破练(三) 函数与导数(1).doc

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1、压轴大题突破练(三) 函数与导数(1)1.已知函数f(x)=(x2-2ax+2)ex.(1)函数f(x)在x=0处的切线方程为2x+y+b=0,求a,b的值;(2)当a>0时,若曲线y=f(x)上存在三条斜率为k的切线,求实数k的取值范围.解 (1)f(x)=(x2-2ax+2)ex,f(0)=2e0=2,2+b=0,得b=-2.f′(x)=(x2-2ax+2+2x-2a)ex=[x2+(2-2a)x+2-2a]ex,f′(0)=2-2a=-2,得a=2,∴a=2,b=-2.(2)f′(x)=[x2+(2-2a)x+2-2a]ex,令h(x)=f′(x),依题意知存在k使h

2、(x)=k有三个不同的实数根,h′(x)=(x2-2ax+2+2x-2a+2x-2a+2)ex=[x2+(4-2a)x+4-4a]ex,令h′(x)=[x2+(4-2a)x+4-4a]ex=0,得x1=-2,x2=2a-2.由a>0知x1<x2,则f′(x)在(-∞,-2),(2a-2,+∞)上单调递增,在(-2,2a-2)上单调递减.当x→-∞时,f′(x)→0,当x→+∞时,f′(x)→+∞,∴f′(x)的极大值为f′(-2)=e-2(2a+2),f′(x)的极小值为f′(2a-2)=e2a-2(2-2a),∴此时e2a-2(2-2a)<k<e-2(2a+2).2.(2

3、016·四川)设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>-e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).解 (1)f′(x)=2ax-=(x>0).当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f′(x)=0,有x=.此时,当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增.(2)令g(x)=-,s(x)=ex-1-x.则s′(x)=ex-1-1.而当x>1时,s′(x)>0,所以s(x)在区间(1,+∞)内

4、单调递增.又由s(1)=0,有s(x)>0,从而当x>1时,g(x)>0.当a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-lnx<0.故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当01.由(1)有f0,所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.当a≥时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).当x>1时,h′(x)=2ax-+-e1-x>x-+-=>>0.因此,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增.又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.综上,a∈.

5、3.已知函数f(x)=x2-lnx.(1)求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调递减区间;(3)设函数g(x)=f(x)-x2+ax,a>0,若x∈(0,e]时,g(x)的最小值是3,求实数a的值(e为自然对数的底数).解 (1)∵f(x)=x2-lnx,∴f′(x)=2x-.∴f′(1)=1.又∵f(1)=1,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=x-1,即x-y=0.(2)∵函数f(x)=x2-lnx的定义域为(0,+∞),由f′(x)=2x-<0,得0<x<.∴函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间是(0,)

6、.(3)∵g(x)=ax-lnx,∴g′(x)=,令g′(x)=0,得x=.①当≥e,即0<a≤时,g′(x)=≤0在(0,e]上恒成立,则g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=(舍去);②当0<<e,即a>时,列表如下:x(0,)(,e)eg′(x)-0+g(x)↘极小值1+lna↗ae-1由表知,g(x)min=g()=1+lna=3,a=e2,满足条件.综上,所求实数a=e2,使得当x∈(0,e]时g(x)有最小值3.4.已知函数f(x)=+alnx-2(a>0).(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=x

7、+2垂直,求函数y=f(x)的单调区间;(2)若对∀x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a-1)成立,试求实数a的取值范围;(3)记g(x)=f(x)+x-b(b∈R),当a=1时,函数g(x)在区间[e-1,e]上有两个零点,求实数b的取值范围.解 (1)直线y=x+2的斜率为1,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-+,∴f′(1)=-+=-1,解得a=1,∴f(x)=+lnx-2,f′(x)=,由f′(x)>0得x>2,由f′(x)<0得0

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