压轴大题突破练(四) 函数与导数(2).doc

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1、压轴大题突破练(四) 函数与导数(2)1.已知函数f(x)=x-sinx,x∈R.(1)试求函数f(x)的递减区间;(2)试求函数f(x)在区间[-π,π]上的最值.解 (1)求导数得:f′(x)=-cosx,令f′(x)<0,即-cosx<0,得-+2kπ

2、上的最大值为f(π)=,最小值为f(-π)=-.2.已知函数f(x)=alnx+x2-1.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)>(a+1)lnx+ax-1在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.解 (1)由题意得,f′(x)=+2x(x>0),∴f′(1)=a+2,又f(1)=0,∴切线方程是y=(a+2)(x-1),即(a+2)x-y-a-2=0.(2)由f(x)>(a+1)lnx+ax-1得,ax<x2-lnx,∵x>1,∴a<x-恒成立.令g(x)=x-,则g′(x)=,令h(x)=x2+lnx-1,则h′(x)=2x+>0,∴

3、h(x)在(1,+∞)上递增,而h(1)=0,∴当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,∴g′(x)>0,∴g(x)在(1,+∞)上递增,∴g(x)>g(1)=1,∴当a≤1时,a<g(x)恒成立,∴a的取值范围是(-∞,1].3.(2016·课标全国乙)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.(1)解 f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).①设a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点.②设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f′

4、(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b(b-2)+a(b-1)2=a>0,故f(x)存在两个零点.③设a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)上单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞

5、)时,f′(x)>0,因此f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减,在(ln(-2a),+∞)上单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).(2)证明 不妨设x1f(2-x2),即f(2-x2)<0.由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex

6、2.设g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,则g′(x)=(x-1)(e2-x-ex),所以当x>1时,g′(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0,从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.4.已知函数f(x)=lnx-ax2(a∈R).(1)若f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线x-2y+1=0垂直,求实数a的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)讨论函数f(x)在区间[1,e2]上零点的个数.解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),∵f(x)=lnx-ax2.∴f′(x)=-ax=,由于直线x-2y+1=0的斜率为,∴×=-1

7、,∴a=.(2)由(1)知f′(x)=-ax=.当a≤0时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a>0时,由f′(x)>0,得x<,由f′(x)<0,得x>,∴f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减.综上所述:当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞).(3)由(2)可知,当a<0时,f(x)在区间[1,e2]上单调递增,∵f(1)=-a>0,∴f(x)在区间[1,e2]上没有零点.当a=0时,f(x)在区间[

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