压轴大题突破练——函数与导数(一).docx

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1、压轴大题突破练——函数与导数(一)1．已知f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若a≠0，求函数f(x)的单调区间；(3)若不等式2xlnx≤f′(x)＋a2＋1恒成立，求实数a的取值范围．解　(1)∵a＝1，∴f(x)＝x3＋x2－x＋2，∴f′(x)＝3x2＋2x－1，∴k＝f′(1)＝4，又f(1)＝3，∴切点坐标为(1,3)，∴所求切线方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.(2)f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)，由f′(x)＝0得x＝－a或x＝.①当a>0时，由f′(x)<0，

2、得－a0，得x<－a或x>，此时f(x)的单调递减区间为(－a，)，单调递增区间为(－∞，－a)和(，＋∞)．②当a<0时，由f′(x)<0，得0，得x<或x>－a，此时f(x)的单调递减区间为(，－a)，单调递增区间为(－∞，)和(－a，＋∞)．综上：当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－a，)，单调递增区间为(－∞，－a)和(，＋∞)．当a<0时，f(x)的单调递减区间为(，－a)，单调递增区间为(－∞，)和(－a，＋∞)．(3)依题意x∈(0，＋∞)，不等式2xlnx≤f′(x)＋a2＋1恒成立，等价于2xlnx≤3x2＋2ax＋1在

3、(0，＋∞)上恒成立，可得a≥lnx－x－在(0，＋∞)上恒成立，设h(x)＝lnx－－，则h′(x)＝－＋＝－.令h′(x)＝0，得x＝1，x＝－(舍)，当00；当x>1时，h′(x)<0.当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)h′(x)＋0－h(x)单调递增－2单调递减∴当x＝1时，h(x)取得最大值，h(x)max＝－2，∴a≥－2，∴a的取值范围是[－2，＋∞)．2．已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x，g(x)＝ax＋＋1＋2xcosx．当x∈[0,1]时，(1)求证：1－x≤f(x)≤；(2)若f(x)≥g(x)恒成

4、立，求实数a的取值范围．(1)证明　要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≥1－x，只需证明(1＋x)e－x≥(1－x)ex.记h(x)＝(1＋x)e－x－(1－x)ex，则h′(x)＝x(ex－e－x)．当x∈(0,1)时，h′(x)>0，因此h(x)在[0,1]上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0，所以f(x)≥1－x，x∈[0,1]．要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≤，只需证明ex≥x＋1.记K(x)＝ex－x－1，则K′(x)＝ex－1，当x∈(0,1)时，K′(x)>0，因此K(x)在[0,1]上是增函数，故K(x)≥K(0)＝0.所以f(x)≤，x∈[0,1]．综上，

5、1－x≤f(x)≤，x∈[0,1]．(2)解　f(x)－g(x)＝(1＋x)e－2x－(ax＋＋1＋2xcosx)≥1－x－ax－1－－2xcosx＝－x(a＋1＋＋2cosx)．(由(1)知)故G(x)＝＋2cosx，则G′(x)＝x－2sinx.记H(x)＝x－2sinx，则H′(x)＝1－2cosx，当x∈(0,1)时，H′(x)<0，于是G′(x)在[0,1]上是减函数．从而当x∈(0,1)时，G′(x)

6、当a>－3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．f(x)－g(x)≤－1－ax－－2xcosx＝－ax－－2xcosx＝－x(＋a＋＋2cosx)．(由(1)知)记I(x)＝＋a＋＋2cosx＝＋a＋G(x)，则I′(x)＝＋G′(x)，当x∈(0,1)时，I′(x)<0，故I(x)在[0,1]上是减函数，于是I(x)在[0,1]上的值域为[a＋1＋2cos1，a＋3]．因为当a>－3时，a＋3>0，所以存在x0∈(0,1)，使得I(x0)>0，此时f(x0)

7、函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)．(1)解　f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，即由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．即有b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna.令h(t)