处处连续处处不可导函数

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1、维普资讯http://www.cqvip.com高等数学研究VoL9,No．12STUDIESINCOIIEGEMATHATICSJan．，2006■衄数学分析课程中的一个反例。——处处连续处处不可导的函数陈纪修邱维元(复旦大学数学科学学院上海200433)摘要介绍数学分析课程中处处连续但处处不可导函数的教学，通过电子课件演示函数的图象，使学生理解这一类函数的局部与整体的某种相似性质，并对。分形概念有一个初步的了解．关键词连续I可导IWeierstrass函数中田分类号O172．1，G642．11．Weierstrass反

2、例在数学分析的历史发展过程中，数学家们一直猜想：连续函数在其定义区间上，至多除去可列个点外都是可导的．也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集．直到19世纪初，数学家们仍然在致力于证明这一猜想．然而数学家们的这一努力一直没有得到成功，究其原因，是由于在当时，关于函数的表示手段有限，如果仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑，这个猜想是正确的．但是随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类．Weierstrass是一位研究级数理论的大师，他于1872年利用函数项级数第一

3、个构造出了一个处处连续而处处不可导的函数(称为Weierstrass函数)：，()一∑口”sin(b"x)，0<口<11，^_O为上述猜测做了一个否定的终结．KarlWeierstrass(1815—1897)是19世纪德国数学家，他在数学的许多领域如分析学、代数学、解析函数论、变分学、微分几何等众多学科都作出了重大贡献，其中不少成果是在他做中学教师时取得的．1856年，柯尼斯堡大学授于他名誉博士学位，1865年他被聘为柏林大学教授，后来成为法国巴黎科学院院士．Weierstrass是数学分析基础的主要奠基者之

4、一，是把严格的数学论证引进分析学的一位大师．Weierstrass利用单调有界的有理数数列来定义无理数，从而在严格的逻辑基础上建立了实数理论l关于连续函数的分析定义(即e一艿语言)也是他给出的，这些贡献使得数学分析的叙述精确化，论证严格化．在数学分析课程中，除了第一个给出处处连续处处不可导函数的例子外，以Weierstrass名字命名的还有Weiexstrass第一逼近定理与Weierstrass第二逼近定理，函数项级数与含参变量反常积分的Weiexstrass判别法等重要定理．Weierstrass还是一位著名的教育学家

5、，他培养了一大批数学家，如：H．A．Schwarz，LLFuchs，MG．1YIittag~Leffler，F．Schottky等等．Weierstrass例子的证明较为复杂，不适合放到数学分析课程的教学中。在1930年，荷兰数学家VanderWaerden给出了另外一个例子．VanderWaerdeu的例子在思想方法上与Weierstrass的例子是一致的，但它的证明却很简单，而且初等．VanderWaerden的例子使得在数学分析课程中介绍处处连续处处不可导的函数成为可能．2．VanderWaerden反例及其证明设(

6、)表示与最邻近的整数之间的距离，例如当士===1．26，则()0．26；当士=；=3．67，·收稿日期t05—10—09注·本文作者之一陈纪肇为2003年首届国家。百名高校教学名师奖获得者．维普资讯http://www.cqvip.com第9卷第1期陈纪修，邱维元t数学分析课程中的一个反例3则(z)一0．33．显然()≤1／2，是周期为1的连续函数，且具有以下性质：当X，∈[，k+1／2]或[七+1／2，k+1]时，l(z)一()}一}X—Y}．vanderwaerden给出的例子是：，(z)=妻．由II≤，及薹的收敛性，

7、根据weierstrass判别法，上述函数项级数关于∈(一o。，+o。)一致收敛．所以，(z)在(一o。，+。o)连续．现考虑，(z)在任意一点X的可导性．由于，(z)的周期性，不妨设0≤X<1，并将X表示成无限小数X=0．以以。⋯n⋯．若z是有限小数时，则在后面添上无穷多个0．然后我们取，f10一，当n一0，1，2，3，5，6，7，8，===一‘【一10一，当n一4，9，如X一0．309546⋯，则取h1===lo一，h2=lO～，h3=一lO～，h4lO～，h5一lO一，h6一lO一，⋯．显然h一o(oo)。只要证明极

8、限lim羔±不存在，就说明，(卫)在点z不可导．±垒二一翌三：±垒翌．二翌；hlO”h：±垒二翌9：lO”h+量业当≥时，(1O(+h))===(10”X士1O)===9(10z)，所以兰±垒!．二一：翌±垒!翌：h,／J10”h‘：0当=0，1，2，⋯，～1，在10“X的表示中a的位置是第一位小数，l